a) Do M là điểm chính giữa của cung BC nên \(\widehat{OIC}=90^o\).

Mà \(\widehat{OHC}=90^o\) nên tứ giác HCIO nội tiếp đường tròn đường kính OC.

b) Do M là điểm chính giữa của cung BC nên hai cung MB, MC bằng nhau.

Từ đó \(\widehat{MAC}=\widehat{MAB}\) nên AM là tia phân giác của góc BAC.

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có \(\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{AC}{AB}=sin30^o=\dfrac{1}{2}\Rightarrow KB=2KC\).

a: Xét tứ giác OICH có \(\hat{OIC}+\hat{OHC}=90^0+90^0=180^0\)

nên OICH là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét ΔAHE vuông tại H và ΔAMB vuông tại M có

góc HAE chung

Do đó: ΔAHE~ΔAMB

=>\(\frac{AH}{AM}=\frac{AE}{AB}\)

=>\(AM\cdot AE=AH\cdot AB\)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AB=AC^2\)

=>\(AC^2=AM\cdot AE\)

a: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD

Xét tứ giác ACKD có

H là trung điểm chung của AK và CD

=>ACKD là hình bình hành

Hình bình hành ACKD có AK⊥CD
nên ACKD là hình thoi

b: Xét (I) có

ΔKEB nội tiếp

KB là đường kính

Do đó: ΔKEB vuông tại E

=>KE⊥CB

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>CA⊥CB

mà CA//KD(ACKD là hình thoi)

nên KD⊥CB

mà KE⊥CB

và KE,KD có điểm chung là K

nên E,K,D thẳng hàng

c: Xét tứ giác CHKE có \(\hat{CHK}+\hat{CEK}=90^0+90^0=180^0\)

nên CHKE là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{HEK}=\hat{HCK}\)

\(\hat{IEH}=\hat{IEK}+\hat{HEK}\)

\(=\hat{IKE}+\hat{HCK}=\hat{HKD}+\hat{KDH}=90^0\)

=>IE⊥ EH tại E

=>HE là tiếp tuyến tại E của (I)

a: CMAB là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{CMA}+\hat{CBA}=180^0\)

mà \(\hat{CMA}+\hat{SMA}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{SMA}=\hat{SBC}\)

Xét ΔSMA và ΔSBC có

\(\hat{SMA}=\hat{SBC}\)

góc MSA chung

Do đó: ΔSMA~ΔSBC

=>\(\frac{SA}{SC}=\frac{MA}{BC}\)

=>\(SA\cdot BC=SC\cdot MA\)

Xét (O) có

\(\widehat{AEB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{AEB}=90^0\)

Xét tứ giác BEFI có 

\(\widehat{BEF}+\widehat{FIB}=180^0\)

nên BEFI là tứ giác nội tiếp

hay B,E,F,I cùng thuộc 1 đường tròn

a) \(\Delta ABE\)nội tiếp đường tròn đường kính \(AB\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABE\perp E\)

\(\Rightarrow\)\(AEB\lambda=90\)độ

Tứ giác\(BEFI\)nội tiếp đường tròn đường kính \(FB\)

a, (O) và (I) tiếp xúc trong với nhau

b, Tứ giác ADCE là hình thoi

c, Có CK ⊥ AB, AD ⊥ DB

=> CK//AD mà CE//AD

=> B,K,D thẳng hàng

d, H K D ^ = H D K ^ ; I K B ^ = I B K ^

=>  H K D ^ + I K B ^ = I B K ^ + H D K ^ = 90 0

=>  I K H ^ = 90 0