Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi $(O)$ là đường tròn đường kính $AB$, $C\in AO$, $CD\perp AB$, $D\in(O)$.
a) Chứng minh $BCFM$ nội tiếpVì $CD\perp AB$ nên:
$\widehat{BCF}=90^\circ$
Mặt khác, $A,F,M$ thẳng hàng và $M$ thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$ nên:
$\widehat{BMF}=\widehat{BMA}=90^\circ$
Suy ra:
$\widehat{BCF}=\widehat{BMF}=90^\circ$
Vậy:
$\boxed{B,C,F,M\text{ cùng thuộc một đường tròn}}$
b) Chứng minh $EM=EF$Vì $EM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$ nên theo định lý góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:
$\widehat{EMF}=\widehat{EM A}=\widehat{MBA}$
Mặt khác, $EF\perp AB$ nên:
$\widehat{EFM}=90^\circ-\widehat{MAB}$
Trong tam giác $ABM$:
$\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=90^\circ$
nên:
$\widehat{MBA}=90^\circ-\widehat{MAB}$
Suy ra:
$\widehat{EMF}=\widehat{EFM}$
Do đó tam giác $EMF$ cân:
$\boxed{EM=EF}$
c) Chứng minh $D,I,B$ thẳng hàngGọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle FDM$.
Vì $F,D\in CD$ và $CD\perp AB$ nên $FD\perp AB$.
Do đó đường trung trực của $FD$ song song với $AB$.
Từ câu b:
$EM=EF$
nên $E$ là trung điểm của $FM$.
Suy ra $IE\perp FM$.
Mặt khác, $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle FDM$ nên:
$IF=IM=ID$
Suy ra $I$ nằm trên đường trung trực của $FM$ và $FD$.
Từ các quan hệ vuông góc trên, suy ra $I$ nằm trên $BD$.
Vậy:
$\boxed{D,I,B\text{ thẳng hàng}}$
Vì $D$ là điểm cố định nên đường thẳng $BD$ cố định.
Do $B,I,D$ thẳng hàng:
$\widehat{ABI}=\widehat{ABD}$
Mà $A,B,D$ đều cố định nên:
$\boxed{\widehat{ABI}\text{ có số đo không đổi khi }M\text{ thay đổi}}$
O A B C H D I K E F
b) Ta thấy (O) giao (I) tại 2 điểm B và D => BD vuông góc OI (tại K) => ^OKB=900.
Xét đường tròn (I) đường kính AB có H thuộc cung AB => AH vuông góc HB hay AH vuông góc BC (1)
AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O) => \(\Delta\)ABC cân tại A. Mà AO là phân giác ^BAC
=> AO vuông góc BC (2)
Từ (1) và (2) => A;H;O thẳng hàng => ^OHB=900.
Xét tứ giác BOHK: ^OKB=^OHB=900 => Tứ giác BOHK nội tiếp đường tròn đường kính OB
=> ^OKH = ^OBH. Lại có ^OBH=^OAB (Cùng phụ ^HBA) => ^OKH = ^OAB
Hay ^OKH = ^HAI. Mà ^OKH + ^KHI = 1800 nên ^HAI + ^KHI = 1800
=> Tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Dễ thấy OI là trung trực của BD và OI cắt BD tại K => K là trung điểm của BD
\(\Delta\)ABC cân đỉnh A có đường phân giác AH => H là trung điểm BC
Từ đó suy ra HK là đường trung bình của \(\Delta\)BDC
=> HK//CD => ^HKD + ^CDK = 1800 (3). Đồng thời \(\frac{HK}{CD}=\frac{1}{2}\)
Tương tự KI là đường trg bình của \(\Delta\)BAD => KI//AD => ^DKI + ^ADK = 1800 (4) Và \(\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)
Cộng (3) với (4) => ^KHD + ^KDI + ^CDK + ^ ADK = 3600
<=> ^HKI = 3600 - (^CDK + ^ADK) => ^HKI = ^CDA.
Xét \(\Delta\)HKI và \(\Delta\)CDA: ^HKI=^CDA; \(\frac{HK}{CD}=\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)=> \(\Delta\)HKI ~ \(\Delta\)CDA (c.g.c)
=> ^HIK = ^CAD. Mặt khác: ^CAD = ^DBE (Cùng chắn cung DE) => ^HIK=^DBE.
Mà tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn => ^HIK=^HAK = >^DBE=^HAK hay ^KBF=^FAK
=> Tứ giác BKFA nội tiếp đường tròn => Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm K (đpcm).