Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) Xét tứ giác OMCN có:
∠(OMC) = 90 0 (AC ⊥ OD)
∠(ONC) = 90 0 (CB ⊥ OE)
∠(NCM) = 90 0 (AC ⊥ CB)
⇒ Tứ giác OMCN là hình chữ nhật
C là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và M \(\Rightarrow OC\) là trung trực AM
\(\Rightarrow E\) là trung điểm AM
Tương tự ta có OD là trung trực BM \(\Rightarrow F\) là trung điểm BM
\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác ABM
\(\Rightarrow EF||AB\Rightarrow ONEF\) là hình thang (1)
Lại có O là trung điểm AB \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác ABM
\(\Rightarrow OF=\dfrac{1}{2}AM=AE\)
Mà \(OF||AE\) (cùng vuông góc BM)
\(\Rightarrow AEFO\) là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{OAE}\)
Mà \(EN=AE=\dfrac{1}{2}AM\Rightarrow\Delta AEN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ANE}\)
\(\widehat{ANE}+\widehat{ONE}=180^0\Rightarrow\widehat{OFE}+\widehat{ONE}=180^0\)
Lại có \(\widehat{ONE}+\widehat{NEF}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)
\(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{NEF}\)
\(\Rightarrow ONEF\) là hình thang cân
a) Xét tứ giác AOMC có
\(\widehat{CAO}\) và \(\widehat{CMO}\) là hai góc đối
\(\widehat{CAO}+\widehat{CMO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: AOMC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Ta có: AOMC là tứ giác nội tiếp(cmt)
nên \(\widehat{MAO}=\widehat{OCM}\)(hai góc cùng nhìn cạnh OM)
hay \(\widehat{MAB}=\widehat{OCD}\)
Xét (O) có
CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(Gt)
CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(Gt)
Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Leftrightarrow\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Leftrightarrow\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{MOD}\)
Ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)(cmt)
và \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{MOD}\)(cmt)
nên \(2\cdot\widehat{COM}+2\cdot\widehat{MOD}=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{COM}+\widehat{MOD}=90^0\)
mà \(\widehat{COM}+\widehat{MOD}=\widehat{COD}\)(tia OM nằm giữa hai tia OC,OD)
nên \(\widehat{COD}=90^0\)
Xét ΔCOD có \(\widehat{COD}=90^0\)(cmt)
nên ΔCOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)
Xét (O) có
ΔMAB nội tiếp đường tròn(M,A,B∈(O))
AB là đường kính(gt)
Do đó: ΔMAB vuông tại M(Định lí)
Xét ΔAMB vuông tại M và ΔCOD vuông tại O có
\(\widehat{MAB}=\widehat{OCD}\)(cmt)
Do đó: ΔAMB∼ΔCOD(g-g)
⇔\(\dfrac{AM}{CO}=\dfrac{BM}{DO}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AM\cdot OD=BM\cdot OC\)(đpcm)
b) Gọi I là tâm của đường tròn đường kính CD.
Tứ giác CABD là hình thang vuông (AC ⊥ AB;BD ⊥ AB) có OI là đường trung bình
⇒ OI // AC ; mà AC ⊥ AB ⇒ OI ⊥ AB tại O
Vậy AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.
a: Xét (O) có
DA,DM là các tiếp tuyến
Do đó: DA=DM và OD là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
CM,CB là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CB và OC là phân giác của góc MOB
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó; ΔAMB vuông tại M
=>AF⊥BE tại M
Ta có: \(\hat{DAM}+\hat{DEM}=\hat{AME}=90^0\)
\(\hat{DMA}+\hat{DME}=\hat{AME}=90^0\)
mà \(\hat{DAM}=\hat{DMA}\) (ΔDAM cân tại D)
nên \(\hat{DEM}=\hat{DME}\)
=>DE=DM
mà DA=DM
nên DE=DA
=>D là trung điểm của AE
Ta có: \(\hat{CMB}+\hat{CMF}=\hat{FMB}=90^0\)
\(\hat{CBM}+\hat{CFM}=90^0\) (ΔBMF vuông tại M)
mà \(\hat{CMB}=\hat{CBM}\) (ΔCBM cân tại C)
nên \(\hat{CMF}=\hat{CFM}\)
=>CM=CF
mà CM=CB
nên CF=CB
=>C là trung điểm của BF
Gọi I là giao điểm của AC và BD
Xét ΔIAD và ΔICB có
\(\hat{IAD}=\hat{ICB}\) (hai góc so le trong, AD//CB)
\(\hat{AID}=\hat{CIB}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔIAD~ΔICB
=>\(\frac{ID}{IB}=\frac{IA}{IC}=\frac{DA}{CB}=\frac{DM}{MC}\)
Xét ΔDCB có \(\frac{DI}{IB}=\frac{DM}{MC}\)
nên IM//CB
mà CB⊥BA
nên MI⊥BA
mà MH⊥BA
và MI,MH có điểm chung là M
nên M,I,H thẳng hàng
Xét ΔBAD có IH//AD
nên \(\frac{IH}{AD}=\frac{BI}{BD}\) (1)
Xét ΔBDE có MI//DE
nên \(\frac{MI}{DE}=\frac{BI}{BD}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IH}{AD}=\frac{MI}{DE}\)
mà AD=DE
nên IH=MI
=>I là trung điểm của MH
=>ĐPCM
c: Ta có: OD là phân giác của góc MOA
=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOD}\)
OC là phân giác của góc MOB
=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOC}\overline{}\)
TA có; \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{MOD}+\hat{MOC}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)
=>\(\hat{COD}=90^0\)
Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(OM^2=MC\cdot MD\)
=>\(AD\cdot BC=OM^2=R^2=AO\cdot AO\)
=>\(\frac{AD}{AO}=\frac{AO}{BC}\)
=>\(\frac{AO}{BC}=\frac{2\cdot AD}{2\cdot AO}=\frac{AE}{AB}\)
Xét ΔEAO vuông tại A và ΔABC vuông tại B có
\(\frac{EA}{AB}=\frac{AO}{BC}\)
Do đó; ΔEAO~ΔABC
=>\(\hat{AEO}=\hat{BAC}\)
mà \(\hat{AEO}+\hat{AOE}=90^0\) (ΔAOE vuông tại A)
nên \(\hat{AOE}+\hat{BAC}=90^0\)
=>AC⊥OE
Xét ΔAEO vuông tại A và ΔBAC vuông tại B có
\(\frac{AE}{BA}=\frac{AO}{BC}\)
a: Xét tứ giác OBDM có
góc OBD+góc OMD=180 độ
=>OBDM là tư giác nội tiếp
c: Xét ΔKOB và ΔKFE có
góc KOB=góc KFE
góc OKB=góc FKE
=>ΔKOB đồng dạng với ΔKFE
=>KO/KF=KB/KE
=>KO*KE=KB*KF