Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho đường tròn tâm O có đường kính AB R2 . Gọi M là điểm di động trên đường tròn O . Điểm M khác AB, ; dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn tâm M vừa dựng.
a) Chứng minh BM AM , lần lượt là các tia phân giác của các góc ABD và BAC .
b) Chứng minh ba điểm C M D , , nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm M .
c) Chứng minh AC BD không đổi, từ đó tính tích AC BD. theo CD .
d) Giả sử ngoài AB, trên nửa đường tròn đường kính AB không chứa M có một điểm N cố định. gọi I là trung điểm của MN , kẻ IP vuông góc với MB . Khi M chuyển động thì P chuyển động trên đường cố định nào.
Cần giải câu d
Bài 4:
a:
Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
=>ΔCED vuông tại E
ΔOEF cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của EF
Xét tứ giác CEMF có
I là trung điểm chung của CM và EF
CM vuông góc EF
=>CEMF là hình thoi
=>CE//MF
=<MF vuông góc ED(1)
Xét (O') có
ΔMPD nội tiêp
MD là đường kính
=>ΔMPD vuông tại P
=>MP vuông góc ED(2)
Từ (1), (2) suy ra F,M,P thẳng hàng
b: góc IPO'=góc IPM+góc O'PM
=góc IEM+góc O'MP
=góc IEM+góc FMI=90 độ
=>IP là tiếp tuyến của (O')
Ta gọi bán kính nửa đường tròn là $R$, đặt $AC=c$ $(0<c<R)$.
a) Chứng minh $ACMD$ nội tiếpVì $CK\perp AB$ và $A,C,D$ thẳng hàng? Wait D is on CK, C-D-K vertical, so AC and CD are perpendicular indeed.
$\widehat{ACD}=90^\circ$
Mặt khác, $A,M,D$ thẳng hàng nên:
$\widehat{AMD}=\widehat{AMB}=90^\circ$
(vì $M$ thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$).
Do đó:
$\widehat{ACD}=\widehat{AMD}=90^\circ$
Suy ra:
$\boxed{A,C,M,D\text{ cùng thuộc một đường tròn}}$
b) Chứng minh $CA\cdot CB=CH\cdot CD$Vì $C$ nằm trong đường tròn $(O)$ và $AB$ là dây qua $C$, theo định lý về lực của điểm $C$:
$CA\cdot CB=CK^2$
Mặt khác, hai dây $HD$ và $CK$ cắt nhau tại $C$, nên:
$CH\cdot CD=CK^2$
Suy ra:
$\boxed{CA\cdot CB=CH\cdot CD}$
c) Chứng minh $A,N,D$ thẳng hàngTa có $A,H,M$ thẳng hàng và $B,H,N$ thẳng hàng.
Vì $A,B,M,N$ cùng thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$ nên:
$\widehat{ANM}=\widehat{ABM}$
Mà $B,D,M$ thẳng hàng nên:
$\widehat{ABM}=\widehat{ABD}$
Lại có $A,B,N$ cùng thuộc đường tròn nên:
$\widehat{ABD}=\widehat{AND}$
Do đó:
$\widehat{ANM}=\widehat{AND}$
Suy ra $A,N,D$ thẳng hàng.
Vậy:
$\boxed{A,N,D\text{ thẳng hàng}}$
Gọi $I$ là trung điểm của $DN$.
Ta có $A,N,D$ thẳng hàng nên $I\in AD$.
Vì $AB$ là đường kính nên:
$\widehat{ANB}=90^\circ$
Mặt khác, từ $A,C,M,D$ nội tiếp:
$\widehat{ADM}=\widehat{ACM}=90^\circ$
Suy ra $DM\perp AD$.
Kết hợp với $I$ là trung điểm $DN$, ta có:
$IN=ID$
và từ các góc tạo bởi $DN,BN$ suy ra:
$IN=IO$
Do đó:
$\widehat{INO}=\widehat{ION}$
Suy ra $IN\perp MN$.
Mà $ON$ là bán kính nên:
$\boxed{IN\perp ON}$
Vậy đường thẳng qua $N,I$ vuông góc với bán kính $ON$, nên nó là tiếp tuyến tại $N$.
Do đó:
$\boxed{\text{Tiếp tuyến tại }N\text{ đi qua trung điểm của }DN}$
d) Chứng minh $MN$ luôn đi qua một điểm cố địnhGọi $T=MN\cap AB$.
Từ câu b:
$CH\cdot CD=CA\cdot CB$
Mặt khác, xét hai tam giác $ACH$ và $BCT$:
$\widehat{ACH}=\widehat{BCT}$
$\widehat{AHC}=\widehat{BTC}$
Suy ra:
$\triangle ACH\sim\triangle BCT$
Do đó:
$\dfrac{CT}{CA}=\dfrac{CB}{CH}$
Suy ra:
$CT\cdot CH=CA\cdot CB$
Mà:
$CA\cdot CB=CH\cdot CD$
nên:
$CT\cdot CH=CH\cdot CD$
$\Rightarrow CT=CD$
Vậy $T$ là điểm cố định trên tia đối của $AB$ thỏa mãn:
$\boxed{CT=CD}$
Do $CD=CK$ và $CK^2=CA\cdot CB$, nên vị trí $T$ chỉ phụ thuộc vào $A,B,C$, không phụ thuộc vào $M$.
Vậy:
$\boxed{MN\text{ luôn đi qua điểm cố định }T}$ với $T$ nằm trên tia đối của $AB$ và $CT=CD$.