Cho \(\Delta ABC\) nhọn, AB < AC. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại E và D, BD cắt CE tại H, AH cắt BC tại F.

a) Chứng minh: AF ⊥ BC tại F và tứ giác BEHF nội tiếp.

b) Tia DE cắt đường thẳng BC tại S. Chứng minh: \(SE.SD=SB.SC\)

c) Tia AH cắt (O) tại K (F nằm giữa A và K). Chứng minh: SK là tiếp tuyến của (O).  

Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB và C là điểm thuộc (O)  \(C\ne A;C\ne B;CA>CB\). Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B

a. Chứng minh \(\Delta ABC\) vuông

b. Gọi M là trung điểm của AC. Vẽ CH\(\perp AB\)tại H. Chứng minh: O,M,C,H cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này

c. Tia AC cắt d tại E. Chứng minh EC.EA = EO² - R²

d. Gọi N là trung điểm CH; tia AN cắt d tại F. Chứng minh FC là tiếp tuyến của đường tròn(I)

1. Cho \(\widehat{xOy}=90^0\). Lấy \(I\in Ox,K\in Oy\). Vẽ (I ; OK) cắt tia đối của IO tại M .Vẽ (K ; OI) cắt tia đối của KO tại N. (I) và (K) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại M của (I) và tiếp tuyến tại N của (K) cắt nhau tại C. Chứng minh A,B,C thẳng hàng

2. Cho \(\Delta ABC\) nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ADE\)

3. Cho \(\Delta ABC\) vuông ở A nội tiếp (O) đường kính 5cm . Tiếp tuyến với đường tròn tại C cắt phân giác \(\widehat{ABC}\)tại K . BK cắt AC tại D và BD = 4cm . Tính độ dài BK .  

4. Cho (O ; R).Từ một điểm M ở ngoài (O), kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt (O) tại E, ME cắt (O) tại F. MO cắt AF, AB lần lượt tại N, H. Chứng minh MN = NH

5. Cho \(\Delta ABC\)nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ \(BD\perp AO\)(D nằm giữa A và O). Gọi M là trung điểm BC. AC cắt BD, MD lần lượt tại N, F. BD cắt (O) tại E. BF cắt AD tại H. Chứng minh DF // CE

        Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài dường tron (O). Qua A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tron (O) (B,C là các tiếp điểm), AO cắt BC tại D.

a) Chứng minh \(\Delta ABC\)cân tại A và AO là đường trung trực của BC

b) Vẽ đường kính BE, AE cắt đường tròn (O) tại F. Gọi G là trung điểm của EF, đường thẳng OG cắt đường thẳng BC tại H. Chứng minh: \(\Delta AGO\approx\Delta HDO\)(hai tam giác đồng dạng)
c) Chứng minh EH là tiếp tuyến của đường tròn (O)

cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), AB<AC. Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại E; AE cắt (O) tại D (khác điểm A). Kẻ đường thẳng d qua E và song song với tiếp tuyến tại A của (O), d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng AM cắt (O) tại N (khác điểm A).

a) Chứng minh: \(EB^2=ED.EA\)và \(\frac{BA}{BD}=\frac{CA}{CD}\)

b) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của 3 tam giác ABC, EBP, ECQ cùng đi qua 1 điểm

c) Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP

d) Chứng minh tứ giác BCND là hình thang cân

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) Các tứ giác ADHE và BEDC nội tiếp

b) AE . AB = AD . AC

c) vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn tâm O

    Chứng minh: OA vuông góc với DE

d) Khi A đi động nhưng B,C cố định, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)không đổi

( gợi ý :kéo dài đường kính OA cắt đg tròn O tại M, c/m HCMB là hbh , gọi I là trung điểm BC )

e) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. C/m trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn luôn thẳng hàng và GO=\(\frac{1}{3}\)HO

Cho điểm P nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ 2 tiếp tuyến PA và PB với (O) (A, B là các tiếp điểm), PO cắt đường tròn tại 2 điểm K và I (K nằm giữa P và O) và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm của PD và (O)

a/ Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp

b/ Chứng minh \(AC\perp CH\)

c/ Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ACH\)cắt IC tại M. Tia AM cắt IB tại Q. Chứng minh M là trung điểm AQ

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn(O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC tới đường tròn( B nằm giữa A và C)

a) Chứng minh \(AT^2\)= AB.AC

b) tia phân giác của BTC cắt BC tại D và cắt (O) tại M. Chứng minh \(OM\perp BC\) và AD= AT

c) gọi H là hình chiếu của T trên O A. Chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp

d) TH cắt (O) tại K. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AT và Ak. Tiếp tuyến tại M của(O) cắt EF tại Q. Chứng minh QA= QM