1. (Nam Tư, 81) Cho tam giác nhọn ABC không đều. Kẻ đường cao AH, trung tuyến BM và đường phân giác CL của góc ACB. Trung tuyến BM cắt AH và CL lần lượt tại P, Q. CL cắt AH ở R. Chứng minh rằng tam giác PQR không phải là tam giác đều.
2. (Bỉ, 77) Chứng mình rằng nếu cho trước các số thực dương a, b, c và với mỗi giá trị của n N, tồn tại một tam giác có cạnh an, bn, cn thì tất cả tam giác đó đều là tam giác cân.
3. (Thuỵ Điển, 82) Tìm tất cả các giá trị của n N để với mỗi giá trị đó tồn tại số m N, mà tam giác ABC có cạnh AB = 33, AC = 21, BC = n và các điểm D, E lần lượt ở trên cạnh AB, AC thoả mãn điều kiện AD=DE=EC=m.
4. (Việt Nam, 79) Tìm tất cả bộ ba các số a, b, c N là các độ dài các cạnh của tam giác nội tiếp đường tròn đường kính 6,25.
5. (Nữu Ước, 78) Tam giác ABC và tam giác DEF cùng nội tiếp trong một đường tròn. Chứng minh rằng chu vi của chúng bằng nhau khi và chỉ khi có: sinA+sinB+sinC=sinD+sinE+sinF.
6. (Nam Tư, 81) Một đường thẳng chia một tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau và chu vi bằng nhau. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm trên đường thẳng ấy.
7. (Áo, 83) Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, AC, BC lấy lần lượt các điểm C’, B’, A’ sao cho các đoạn AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại một điểm. Các điểm A”, B”, C” lần lượt đối xứng với các điểm A, B, C qua A’, B’, C’. Chứng minh rằng: SA”B”C” = 3SABC + 4SA’B’C’
8. (Áo, 71) Các đường trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại O. Cmr: AB2 + BC2 + CA2 = 3(OA2 + OB2 + OC2)
9. (Nữu Ước, 79) Chứng minh rằng nếu trọng tâm của một tam giác trùng với trọng tâm của tam giác có các đỉnh là trung điểm các đường biên của nó, thì tam giác đó là tam giác đều.
10. (Anh, 83) Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng nếu AB=AC thì OE vuông góc với CD.
11. (Tiệp Khắc, 72) Tìm tất cả các cặp số thực dương a, b để từ chúng tồn tại tam giác vuông CDE và các điểm A, B ở trên cạnh huyền DE thoả mãn điều kiện: và AC=a, BC=b.
12. (Nữu Ước, 76) Tìm một tam giác vuông có các cạnh là số nguyên, có thể chia mỗi góc thành ba phần bằng nhau bằng thước kẻ và compa.
13. (Phần Lan, 80) Cho tam giác ABC. Dựng các đường trung trực của AB và AC. Hai đường trung trực trên cắt đường thẳng BC ở X và Y tương ứng. Chứng minh rằng đẳng thức: BC=XY
a) Đúng nếu tanB.tanC=3
b) Đẳng thức có thể đúng khi tanB.tanC 3: khi đó hãy tìm tập hợp M thuộc R để đẳng thức đã dẫn trên tương đương với điều kiện tanB.tanC M.
14. (Nữu Ước, 76) O là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Trên đoạn OB và OC người ta lấy hai điểm B1 và C1 sao cho . Chứng minh rằng AB1=AC1.
15. (Anh, 81) O là trực tâm của tam giác ABC, A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Đường tròn tâm O cắt đường thẳng B1C1 ở D1 và D2, cắt đường thẳng C1A1 ở E1 và E2, cắt đường thẳng A1B1 ở F1 và F¬2. Cmr: AD1=AD2=BE1=BE2=CF1=CF2.
16. (Nam Tư, 83) Trong tam giác ABC lấy điểm P, còn trên cạnh AC và BC lấy các điểm tương ứng M và L sao cho: và . Chứng minh rằng nếu D là trung điểm cạnh AB thì DM=DL.
17.Tìm quĩ tích các điểm M trong tam giác ABC thoả mãn điều kiện: MAB + MBC+ MCA=90
18.Kí hiệu Bij (i, j {1;2;3}) là điểm đối xứng của đỉnh Ai của tam giác thường A1A2A3 qua phân giác xuất phát từ đỉnh A1. Chứng minh rằng các đường thẳng B12B21, B13B31, B23B32 song song với nhau.
19. Đường phân giác trong và ngoài góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AB ở L và M. Chứng minh rằng nếu CL=CM thì: AC2+BC2=4R2 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Tia AD cắt đường tròn (O) ở K( K khác A). Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt đường thẳng FD tại M.

a) Chứng minh tứ giác ACDF nội tiếp

b) AM cắt đường tròn (O) tại I( I khác A). Chứng minh MC² = MI. MA và tam giác CMD cân.

c) MD cắt BI tại N. Chứng minh 3 điểm C, K, N thẳng hàng.

Giúp mình với ạ

Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại B. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AC với A thuộc (O), C thuộc (O'). Tiếp tuyến chung trong tại B cắt AC tại M, MO cắt AB ở K, MO' cắt BC ở H.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) Tính số do góc OMO'
c) Tính độ dài AC biết OB= 5cm, O'B = 3,2cm.
d) Tứ giác BKMH là hình gì? Vì sao?
e) Chứng minh dẳng thức MK.MO = MH.MO'
f) Chứng minh OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính AC.
g) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'.
Bài 2: Cho đoạnthẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB hai nửa đường tròn tâm O và P có đường kính theo thứ tự là AB và AC. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (P) tại M. Gọi N là chân đường vuôn góc kẻ từ C đến DB. Gọi Q là tâm nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác CNB.
a) Xác định vị trí tương đối giữa các đường tròn (O) và (P) ; (O) và(Q) ; (P) và (Q).
b) Tứ giác DMCN là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh hệ thức DM.DA = DN.DB
d) Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (P) và (Q)
e) Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất.

Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và có đường cao h = r $\sqrt{2}$. Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B. Chứng minh rằng ( $\mathrm{\alpha }$) tiếp xúc với mặt trụ trục OO’ có bán kính bằng  $\frac{r\sqrt{2}}{2}$ dọc theo một đường sinh.

Bài 3. Cho tam giác ABC, điểm P nằm trong ΔABC. Gọi B', C' lần lượt là điểm đối xứng với P qua AC, AB; E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P trên AC AB. Đường tròn đường kính AP cắt đường tròn (AB'C') tại Q (Q≠A) .Chứng minh rằng PEQF là tứ giác điều hòa.Bài 5. Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp (O), M là trung điểm BC. Các điểm N, P thuộc đoạn BC sao cho MN=MP. Các đường thẳng AM, AN, AP cắt (O) lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng BC, EF và tiếp tuyến của (O) tại D đồng quy.Bài 6. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (I) với các cạnh BC, CA, AB . Các điểm M, N thuộc (I) sao choEM||FN||BC. Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của BM, CN với (I). Chứng minh BC, PE, QF  đồng quy.Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có A cố định và B, C thay đổi trên (O) sao cho BC luôn song song với mộtđường thẳng cố định cho trước. Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm BC ,N là giao điểm của AM với (O). Chứng minh rằng đường thẳng KN luôn đi qua một điểm cố định.Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) (BC < 2R). Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB và P, M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C lên BC, DF, DE. Các tiếp tuyến tại M và N của đường tròn (PMN) cắt nhau tại một điểm S. Chứng minh S luôn thuộc một đường thẳng cố định khi điểm A di động trên (O).Bài 9. Cho điểm P nằm ngoài đường tròn (O). PC là tiếp tuyến của(O), PAB là cát tuyến, CD là đường kính của (O). Gọi E=OP giao BD . Chứng minh rằng CE⊥CA.Bài 10. Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), M là trung điểmBD P=AM giao (O), Q=M giao (O).a) Chứng minh rằng AC AM , là hai đường đẳng giác của góc BAD.b) Chứng minh rằng CP||BD, AQ||BD.

Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và có đường cao h = r $\sqrt{2}$. Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B. Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính thể tích của tứ diện này.

Trong mặt phẳng ( $\mathrm{\alpha }$) , cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng ( $\mathrm{\alpha }$) đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M. Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt tròn xoay đó là một đường tròn. Hãy xác định bán kính của đường tròn đó.