Xét đường tròn tâm (O) có AM=BN

Từ đó ta suy ra OE=OD (tính chất quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét tam giác vuông AOD và tam giác vuông BOE có:

OA=OB(cùng bằng bán kính)

OE=OD(chứng minh trên)

=> ΔAOD = ΔBOE (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> ∠O1 = ∠O4 (2 góc tương ứng)(1)

Tương tự ta có: ∠O2 = ∠O3 (2)

Ta có: ∠AOC = ∠O1 + ∠O2

∠BOC = ∠O3 + ∠O4

Từ (1) và (2) ta suy ra ∠AOC= ∠BOC

Suy ra OC là tia phân giác của góc AOB.

Xét tam giác OBF và tam giác OAF có:

∠AOC = ∠BOC (chứng minh trên)

OA=OB

OF: chung

Suy ra ΔOBF = ΔOAF (c-g-c)

=> BF=AF( 2 cạnh tương ứng)

=> OC ⊥ AB

A M N B H C K O 1 2 3 4

a. Kẻ \(OH\perp AM ; OK\perp AN\)

Ta có: AM = AN ( gt )

Suy ra: OH = OK ( hai dây bằng nhau cách đều tâm )

Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có :

\(\widehat{OHC}=\widehat{OKC}=90^o\)

OC chung

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra:  \(\Delta OIH=\Delta OIK\)( cạnh huyền, cạnh góc vuông )

Xét hai tam giác OAH và OBH, ta có :

\(\widehat{OHA}=\widehat{OHB}=90^o\)

OA = OB

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra:  \(\Delta OAH=\Delta OBH\)( cạnh huyền, cạnh góc vuông )

\(\widehat{O_3}=\widehat{O_4}\)

Suy ra : \(\widehat{O_1}+\widehat{O_3}=\widehat{O_2}+\widehat{O_4}\)hay \(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

Vậy OC là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\)

b. Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân )

Suy ra: \(OC\perp AB\)

Kẻ OH ⊥ AM, OK ⊥ AN

Ta có: AM = AN (gt)

Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có:

OC chung

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra:  ∆ OIH =  ∆ OIK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Xét hai tam giác OAH và OBH, ta có:

OA = OB

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra: ∆ OAH =  ∆ OBH (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao (tính chất tam giác cân)

Suy ra: OC ⊥ AB

a) Kẻ OP ⊥ AM, OQ ⊥ BN

Ta có: AM = BN (Giả thiết)

Suy ra: OP = OQ (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OCP và OCQ, ta có:

Góc OPC= góc OQC=90^∘

         OC chung

         OP = OQ (chứng minh trên)

Suy ra:  ∆OCP = ∆OCQ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

 Góc O₁= góc O₂

Xét hai tam giác OAP và OBQ, ta có:

Góc OPA= góc OQB=90^∘

          OA = OB

          OP = OQ ( chứng minh trên)

Suy ra: ∆OAP = ∆OBQ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

 Góc O₃= Góc O₄

Suy ra:   Góc O₁+góc O₃= Góc O₂+ góc O₄ hay Góc AOC= Góc BOC

Vậy OC là tia phân giác của  Góc AOB

b) Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).

Suy ra: OC ⊥ AB.

Bổ sung đề: Trên cạnh OA,OB lần lượt lấy N và M sao cho ON=OM

a: Ta có: ON+NA=OA

OM+MB=OB

mà ON=OM và OA=OB

nên NA=MB

Xét ΔNAB và ΔMBA có

NA=MB

\(\hat{NAB}=\hat{MBA}\)

BA chung

Do đó: ΔNAB=ΔMBA

=>\(\hat{NBA}=\hat{MAB}\)

=>\(\hat{IBA}=\hat{IAB}\)

=>ΔIAB cân tại I

=>IA=IB

Xét ΔOIA và ΔOIB có

OI chung

IA=IB

OA=OB

Do đó: ΔOIA=ΔOIB

=>\(\hat{AOI}=\hat{BOI}\)

=>OI là phân giác của góc AOB

b: ΔOAB cân tại O

mà OI là đường phân giác

nên OI⊥AB

a: Xét ΔONB và ΔOMA có

ON=OM

NB=MA

OB=OA

DO đó: ΔONB=ΔOMA

=>\(\hat{ONB}=\hat{OMA}\)

Ke OK⊥NB tại K và OH⊥AM tại H

Xét ΔOKN vuông tại K và ΔOHM vuông tại H có

ON=OM

\(\hat{ONK}=\hat{OMH}\)

Do đó: ΔOKN=ΔOHM

=>OK=OH

Xét ΔCKO vuông tại K và ΔCHO vuông tại H có

CO chung

OK=OH

Do đó: ΔCKO=ΔCHO

=>CK=CH

CK+KN=CN

CH+HM=CM

mà KN=HM và CK=CH

nên CN=CM

Xét ΔOMC và ΔONC có

OM=ON

CM=CN

OC chung

Do đó: ΔOMC=ΔONC

=>\(\hat{MOC}=\hat{NOC}\)

=>OC là phân giác của góc MON

b: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: CM=CN

=>C nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1),(2) suy ra OC là đường trung trực của MN

=>OC⊥MN