a: Xét \(\left(O\right)\) có

OK là một phần đường kính

AB là dây

OK\(\perp\)AB tại K

Do đó: K là trung điểm của AB

Suy ra: \(AK=KB=\dfrac{AB}{2}=4\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAKO vuông tại K, ta được:

\(OA^2=OK^2+KA^2\)

\(\Leftrightarrow OK^2=5^2-4^2=9\)

hay OK=3cm

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

=>ΔACB vuông tại C

ΔOCD cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của CD

=>IC=ID=CD/2=8cm

Xét ΔCAB vuông tại C cso CI là đường cao

nên CI^2=IA*IB

=>8^2=6*IB

=>IB=64/6=32/3(cm)

AB=IB+IA=32/3+6=50/3(cm)

=>R=50/3:2=25/3(cm)

a: Kẻ đường kính AH của (O)

Xét (O) có

ΔABH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔABH vuông tại B
=>AB⊥BH

mà AB⊥CD

nên BH//CD
=>\(\hat{HBC}+\hat{BCD}=180^0\) (1)

BHDC nội tiếp

=>\(\hat{HBC}+\hat{HDC}=180^0\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{BCD}=\hat{HDC}\)

Xét tứ giác BHDC có

BH//DC

\(\hat{BCD}=\hat{HDC}\)

Do đó: BHDC là hình thang cân

=>BC=HD; CH=BD

ΔIBC vuông tại I

=>\(IB^2+IC^2=BC^2=DH^2\)

ΔIAD vuông tại I

=>\(IA^2+ID^2=AD^2\)

\(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2\)

\(=DH^2+AD^2=AH^2=4R^2\) không đổi

Kẻ OH⊥CD tại H

=>OH là khoảng cách từ O đến CD

=>OH=3cm

Kẻ OM⊥AB tại M

ΔOAB cân tại O

mà OM là đường cao

nên M là trung điểm của AB

=>AM=MB=8/2=4(cm)

ΔOMA vuông tại M

=>\(OM^2+MA^2=OA^2\)

=>\(OM^2=5^2-4^2=25-16=9=3^2\)

=>OM=3(cm)

Xét (O) có

AB,CD là các dây

OH,OM lần lượt là khoảng cách từ O đến các dây CD,AB

OH=OM(=3cm)

Do đó: AB=CD

=>CD=8(cm)

Kẻ OK⊥AB tại K và OH⊥CD tại H

=>OK,OH lần lượt là khoảng cách từ O đến AB và từ O đến CD

Theo đề, ta có: OH=3cm

ΔOAB cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của AB

=>\(KA=KB=\frac82=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔOKA vuông tại K

=>\(OK^2+KA^2=OA^2\)

=>\(OK^2=5^2-4^2=25-16=9=3^2\)

=>OK=3(cm)

Xét tứ giác OKIH có \(\hat{OKI}=\hat{OHI}=\hat{KIH}=90^0\)

nên OKIH là hình chữ nhật

Hình chữ nhật OKIH có OK=OH

nên OKIH là hình vuông

=>OK=KI=IH=OH=3cm

Xét (O) có

AB,CD là các dây

d(O;AB)=d(O;CD)

Do đó: AB=DC

=>DC=8(cm)

ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD
=>HC=HD=CD/2=4(cm)

HI+IC=HC

=>IC=4-3=1(cm)

CI+ID=CD

=>ID=8-1=7(cm)