1: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc AOM

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc AOD

Ta có: CD=CM+MD

mà CM=CA và DM=DB

nên CD=CA+DB

2: Ta có: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

3: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

=>\(AC\cdot BD=OM^2=\left(\frac12AB\right)^2=\frac14AB^2\)

4: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

DO đó: ΔMAB vuông tại M

=>MA⊥MB

Ta có: CA=CM

=>C nằm trên đường trung trực của AM(1)

Ta có: OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1),(2) suy ra OC là đường trung trực của AM

=>OC⊥AM

mà MA⊥MB

nên OC//MB

5: Gọi K là trung điểm của CD

=>K là tâm đường tròn đường kính CD

ΔOCD vuông tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên \(OK=KC=KD\)

=>O nằm trên (K)

Xét hình thang ACDB có

O,K lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>OK là đường trung bình của hình thang ACDB

=>OK//AC//BD

=>OK⊥AB

=>AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
6: Xét ΔNAC và ΔNDB có

\(\hat{NAC}=\hat{NDB}\) (hai góc so le trong, AC//DB)

\(\hat{ANC}=\hat{DNB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNAC~ΔNDB

=>\(\frac{NA}{ND}=\frac{NC}{NB}=\frac{AC}{BD}=\frac{CM}{MD}\)

Xét ΔCDB có \(\frac{CN}{NB}=\frac{CM}{MD}\)

nên MN//BD

=>MN⊥AB

Bổ sung đề: Vẽ tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt các tiếp tuyến tại A,B lần lượt tại C và D

a) Xét (O) có 

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: CA=CM(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn)

Xét (O) có 

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: DB=DM(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn)

Ta có: CM+DM=CD(M nằm giữa C và D)

mà CM=CA(cmt)

và MD=MB(cmt)

nên CA+DB=CD

hay CD-AC=BD(đpcm)

a: Xét (O) co

CM,CA là tiếp tuyên

=>CM=CA 

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB

CD=CM+MD

=>CD=CA+BD

b: Xet ΔACN và ΔDBN có

góc NAC=góc NDB

góc ANC=góc DNB

=>ΔACN đồng dạng vơi ΔDBN

=>AC/BD=AN/DN

=>CN/MD=AN/ND

=>MN/AC