F(x,y)=x^2+y^2+4x-6y+5

F(3;2)=9+14-12-12+5=-6<0

=>A nằm trong (C)

Dây cung MN ngắn nhất

=>IH lớn nhất

=>H trùng với A

=>MN có VTPT là (1;-1)

Phương trình MN là:

1(x-3)-1(y-2)=0

=>x-y-1=0

Đáp án D

Trong các dây của đường tròn; dây lớn nhất là đường kính. Nên để d cắt (C) theo 1 dây cung dài nhất thì d phải đi qua tâm I ( -2; 3) của đường tròn.

Vậy d  qua I và A(3;2)  nên có VTCP  và có VTPT 

=> phương trình d: 1( x- 3) + 5( y- 2) = 0 hay x+ 5y – 13= 0

Do đó d: x+ 5y -13= 0 .

Đáp án C

+ Ta có nhận xét sau:  đường tròn đã cho có tâm I( -2; 3) và R = 7

Mà:

Suy ra A nằm ở trong (C) .

+ Gọi đường thẳng d cắt (C) theo dây cung MN.

Dây cung MN  ngắn nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất ( trong đó H là hình chiếu của I trên d)

 có vectơ pháp tuyến là 

Vậy d có phương trình: 5( x-3) -1( y-2) =0  hay 5x – y -13= 0

(C): x^2+y^2-4x+6y-12=0

=>O(2;-3)

R=căn 2^2+(-3)^2+12=5

Gọi đường cần tìm là (d'): x+y+c=0

Gọi A,B lần lượt là giao điểm của (d') và (C)

ΔOHB vuông tại H

\(d\left(O;AB\right)=\dfrac{\left|2+\left(-3\right)+c\right|}{\sqrt{2}}=HO\)

\(=\sqrt{OB^2-BH^2}=3\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}c=3\sqrt{2}+1\\c=-3\sqrt{2}+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+y-3\sqrt{2}+1=0\\x+y+3\sqrt{2}+1=0\end{matrix}\right.\)

I(3;1) (C) A(2;2) H B C d

Ta thấy \(AI^2=2< R^2\)=> A nằm trong đường tròn (C)

Gọi BC là một dây cung bất kì đi qua A, H là trung điểm BC

Ta có \(BC^2=4HB^2=4\left(R^2-HI^2\right)\ge4\left(R^2-AI^2\right)=4\left(9-2\right)=28\)(không đổi)

Vậy độ dài nhỏ nhất của dây BC bằng \(2\sqrt{7}\), đạt được khi d vuông góc với IA

Đường thẳng d: đi qua \(A\left(2;2\right)\), VTPT \(\overrightarrow{AI}=\left(1;-1\right)\Rightarrow d:x-y=0\)

(C): \(x^2+y^2-4x+8y-5=0\)

=>\(x^2-4x+4+y^2+8y+16-25=0\)

=>\(\left(x-2\right)^2+\left(y+4\right)^2=25\)

=>Tâm là O(2;-4); bán kính là R=5

Gọi (d'): ax+by+c=0 là phương trình cần tìm

(d')⊥(d)

=>(d'): 4x+3y+c=0

Kẻ OH⊥(d') và gọi B,C là các giao điểm của (d') và (O)

Do đó, ta có: OH⊥BC tại H; OB=OC=5; BC=8

ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>\(HB=HC=\frac{BC}{2}=4\)

ΔOHB vuông tại H

=>\(OH^2+HB^2=OB^2\)

=>\(OH=\sqrt{5^2-4^2}=3\)

O(2;-4)

OH=3

(d'): 4x+3y+c=0

=>d(O;(d'))=3

=>\(\frac{\left|2\cdot4+\left(-4\right)\cdot3+c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=3\)

=>|c-12+8|=15

=>|c-4|=15

=>\(\left[\begin{array}{l}c-4=15\\ c-4=-15\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}c=19\\ c=-11\end{array}\right.\)

Vậy: (d'): 4x+3y+19=0 hoăc (d'): 4x+3y-11=0

(C) có tâm I(2;-1), bán kính R=\(\sqrt{6}\). Khoảng cách từ tâm I tới $\Delta$ là

$d=\dfrac{|2.2-(-1)|}{\sqrt{2^2+1}}=\sqrt{5}<R$ nên $\Delta$ cắt (C).

Gọi $l$ là độ dài dây cung thì

$$\dfrac{l}{2}=\sqrt{R^2-d^2}=1\Rightarrow l=2$$