Ta có : \(\widehat{IBA}+\widehat{ICB}=90^o\)

\(\widehat{IAB}+\widehat{IAO}+\widehat{OAC}=180^o\)mà \(\widehat{IAO}=90^o\)\(\Rightarrow\widehat{IAB}+\widehat{OAC}=90^o\)

Mà \(OA=OC\Rightarrow\)\(\Delta OAC\)cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\)

Từ đó suy ra \(\widehat{IAB}=\widehat{IBA}\Rightarrow\Delta IAB\)cân tại I 

\(\Rightarrow IA=IB\)

a: ΔOBC cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của BC và OI là phân giác của góc BOC

I là trung điểm của BC

=>IB=IC

b: Xét ΔOBM và ΔOCM có

OB=OC

\(\hat{BOM}=\hat{COM}\)

OM chung

Do đó: ΔOBM=ΔOCM

=>\(\hat{OBM}=\hat{OCM}=90^0\)

=>MB là tiếp tuyến tại B của (O)

a: ΔOBC cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của BC và OI là phân giác của góc BOC

I là trung điểm của BC

=>IB=IC

b: Xét ΔOBM và ΔOCM có

OB=OC

\(\hat{BOM}=\hat{COM}\)

OM chung

Do đó: ΔOBM=ΔOCM

=>\(\hat{OBM}=\hat{OCM}=90^0\)

=>MB là tiếp tuyến tại B của (O)

a: Kẻ đường kính AH của (O)

Xét (O) có

ΔABH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔABH vuông tại B
=>AB⊥BH

mà AB⊥CD

nên BH//CD
=>\(\hat{HBC}+\hat{BCD}=180^0\) (1)

BHDC nội tiếp

=>\(\hat{HBC}+\hat{HDC}=180^0\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{BCD}=\hat{HDC}\)

Xét tứ giác BHDC có

BH//DC

\(\hat{BCD}=\hat{HDC}\)

Do đó: BHDC là hình thang cân

=>BC=HD; CH=BD

ΔIBC vuông tại I

=>\(IB^2+IC^2=BC^2=DH^2\)

ΔIAD vuông tại I

=>\(IA^2+ID^2=AD^2\)

\(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2\)

\(=DH^2+AD^2=AH^2=4R^2\) không đổi

a: ΔODE cân tại O

mà OM là đường cao

nen M là trung điểm của DE

Xét tứ giác ADBE có

M là trung điểm chung của AB và DE

=>ADBE là hình bình hành

Hình bình hành ADBE có AB⊥DE

nên ADBE là hình thoi

b: ADBE là hình thoi

=>AD//BE

Xét (O') có
ΔBIC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBIC vuông tại I

=>BI⊥DC
Xét (O) có

ΔADC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔADC vuông tại D

=>AD⊥ DC
mà BI⊥DC

nên AD//BI

mà AD//BE

và BI,BE có điểm chung là B

nên B,I,E thẳng hàng

=>ΔDIE vuông tại I

ΔIDE vuông tại I

mà IM là đường trung tuyến

nên MI=MD=ME=DE/2

1) Trong (O) có CD là dây cung không đi qua (O) và H là trung điểm CD

\(\Rightarrow OH\bot CD\Rightarrow\angle OHI=90=\angle OAI\Rightarrow OHAI\) nội tiếp

Ta có: \(\angle OAI+\angle OBI=90+90=180\Rightarrow OAIB\) nội tiếp 

\(\Rightarrow O,H,A,B,I\) cùng thuộc 1 đường tròn

2) Vì IA,IB là tiếp tuyến \(\Rightarrow IB=IA=OA=OB\Rightarrow AOBI\) là hình thoi

có \(\angle OAI=90\Rightarrow AOBI\) là hình vuông

AB cắt OI tại E.Dễ chứng minh được E là trung điểm AB

Ta có: \(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2}R\Rightarrow AE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}R\)

\(\Rightarrow\) bán kính của (AOBI) là \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}R\)

\(\Rightarrow\) diện tích của (AOBI) là \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}R\right)^2.\pi=\dfrac{1}{2}\pi R^2\)

3) OH cắt AB tại F

Ta có: \(\angle IEF=\angle IHF=90\Rightarrow IEHF\) nội tiếp

\(\Rightarrow OH.OF=OE.OI\) (cái này chỉ là đồng dạng thôi,bạn tự chứng minh nha)

mà \(OE.OI=OB^2=R^2\Rightarrow OF=\dfrac{R^2}{OH}\)

mà H cố định \(\Rightarrow\) F cố định \(\Rightarrow AB\) đi qua điểm F cố định 

Rồi gì nữa bạn?