Đường tròn (O) tiếp xúc với d nên d là tiếp tuyến của (O) hay d vuông góc với bán kính của (O) tại tiếp điểm A. Suy ra tâm O của đường tròn nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A.

Lại có (O) qua B nên tâm O của đường tròn nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy tâm O là giao điểm của đường vuông góc với d tại A và đường trung trực của AB.

Phân tích:

Giả sử đã dựng được đường tròn thỏa mãn đề bài.

Tâm O thỏa mãn hai điều kện:

- O nằm trên đường trung trực của AB (vì đường tròn đi qua A và B).

- O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A (vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d tại A).

Vậy O là giao điểm của hai đường thẳng nói trên.

Cách dựng:

- Dựng đường trung trực m của AB.

- Từ A dựng một đường thẳng vuông góc với d cắt đường thẳng m tại O.

- Dựng đường tròn (O;OA). Đó là đường tròn phải dựng.

Chứng minh:

Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA=OB, do đó đường tròn (O;OA) đi qua A và B.

Đường thẳng tại A nên đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A.

Biện luận: Bài toán luôn có nghiệm hình.

Tâm $O$ là giao điểm của đường vuông góc với $d$ tại $A$ và đường trung trực của $AB$. Dựng đường tròn $(O;OA)$.

Đường tròn (O) tiếp xúc với d nên d là tiếp tuyến của (O) hay d vuông góc với bán kính của (O) tại tiếp điểm A. Suy ra tâm O của đường tròn nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A.

Lại có (O) qua B nên tâm O của đường tròn nằm trên đường trung trực của AB.

Trung trực AB cắt đường thẳng vuông góc với d ở A tại O. Đường tròn (O;OA) là đường tròn cần dựng

* Phân tích

- Giả sử dựng được đường tròn (O) qua A, B và tiếp xúc với d. Khi đó đường tròn (O) phải tiếp xúc với d tại A

- Đường tròn (O) đi qua A và B nên tâm O nằm trên đường trung trực của AB

- Đường tròn (O) tiếp xúc với d tại A nên điểm O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại điểm A

* Cách dựng

- Dựng đường thẳng trung trực của AB

- Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng này cắt đường trung trực của AB tại O

- Dựng đường tròn (O; OA) ta được đường tròn cần dựng

* Chứng minh

Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB. Khi đó đường tròn (O; OA) đi qua hai điểm A và B

a: góc AMO+góc ANO=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: Xét ΔANB và ΔACN có

góc ANB=góc ACN

góc NAB chung

=>ΔANB đồng dạng với ΔACN

=>AN^2=AB*AC

a: góc AMO+góc ANO=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: Xét ΔANB và ΔACN có

góc ANB=góc ACN

góc NAB chung

=>ΔANB đồng dạng với ΔACN

=>AN^2=AB*AC

b: kẻ OG⊥MN tại G. Gọi I là giao điểm của BC và OG. ,Gọi H là giao điểm của BC và OA

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

DO đó: AB=AC và OA là phân giác của góc BOC

ΔOBC cân tại O

mà OA là đường phân giác

nên OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOHI vuông tại H và ΔOGA vuông tại G có

\(\hat{HOI}\) chung

Do đó: ΔOHI~ΔOGA

=>\(\frac{OH}{OG}=\frac{OI}{OA}\)

=>\(OI\cdot OG=OH\cdot OA\)

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2\)

=>\(OI\cdot OG=OB^2=R^2=OM^2\)

=>\(\frac{OI}{OM}=\frac{OM}{OG}\)

Xét ΔOIM và ΔOMG có

\(\frac{OI}{OM}=\frac{OM}{OG}\)

góc IOM chung

Do đó: ΔOIM~ΔOMG

=>\(\hat{OMI}=\hat{OGM}=90^0\)

=>MI là tiếp tuyến tại M của (O)

ΔOMN cân tại O

mà OG là đường cao

nên OG là phân giác của góc MON

Xét ΔOMI và ΔONI có

OM=ON

\(\hat{MOI}=\hat{NOI}\)

OI chung

Do đó: ΔOMI=ΔONI

=>\(\hat{OMI}=\hat{ONI}\)

=>\(\hat{ONI}=90^0\)

=>IN là tiếp tuyến tại N của (O)

=>I là giao điểm của tiếp tuyến của (O) tại M và N

=>I và P trùng nhau

=>B,C,P thẳng hàng

c: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC⊥CD
mà BC⊥OA

nên OA//CD
=>OA//CE

Xét ΔBOA vuông tại B và ΔODE vuông tại O có

BO=OD

\(\hat{BOA}=\hat{ODE}\) (hai góc đồng vị, OA//DE)

Do đó:ΔBOA=ΔODE

=>BA=OE

mà BA=CA

nên CA=OE

Xét tứ giác CEAO có

CE//AO

CA=OE

Do đó: CEAO là hình thang cân