Câu hỏi của Thiên Khôi

Question

cho đtron tâm ( O ) . M nằm ngoài đtron. Tiếp tuyến MA, MB, cát tuyến MCD, I là trung điểm CD, H là giao điểm của MO và AB.
1) chứng minh MC/MD=HC/HD=HC^2/HA^2=HB^2/HD^2

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

1: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB và MO là phân giác của góc AMB

Ta có: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB (2)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(1)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét (O) có

$\hat{MAC}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

$\hat{ADC}$ là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: $\hat{MAC}=\hat{ADC}$

Xét ΔMAC và ΔMDA có

$\hat{MAC}=\hat{MDA}$

góc AMC chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>$\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}$
=>$MA^2=MD\cdot MC\left(3\right)$

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên $MH\cdot MO=MA^2\left(4\right)$

Từ (3),(4) suy ra $MD\cdot MC=MH\cdot MO$

=>$\frac{MD}{MO}=\frac{MH}{MC}$

=>$\frac{MD}{MH}=\frac{MO}{MC}$

Xét ΔMDO và ΔMHC có

$\frac{MD}{MH}=\frac{MO}{MC}$

góc DMO chung

Do đó: ΔMDO~ΔMHC

=>$\hat{MDO}=\hat{MHC}$

mà $\hat{MHC}+\hat{OHC}=180^0$ (hai góc kề bù)

nên $\hat{OHC}+\hat{ODC}=180^0$

=>OHCD là tứ giác nội tiếp

=>$\hat{DHO}=\hat{DCO}$

mà $\hat{DCO}=\hat{ODC}$ (ΔOCD cân tại O)

và $\hat{ODC}=\hat{MHC}$

nên $\hat{MHC}=\hat{OHD}$

=>$90^0-\hat{MHC}=90^0-\hat{OHD}$

=>$\hat{CHA}=\hat{DHA}$

=>HA là phân giác của góc DHC

mà HA⊥HM

nên HM là phân giác ngoài tại đỉnh H của ΔDHC

Xét ΔDHC có HM là phân giác ngoài tại đỉnh H

nên $\frac{MC}{MD}=\frac{HC}{HD}$

2: Ta có: $\hat{HAP}+\hat{OPA}=90^0$ (ΔAHP vuông tại H)

$\hat{MAP}+\hat{OAP}=\hat{OAM}=90^0$

mà $\hat{OAP}=\hat{OPA}$ (ΔOAP cân tại O)

nên $\hat{HAP}=\hat{MAP}$

=>AP là phân giác của góc HAM

Xét ΔBAM có

AP,MH là các đường phân giác

AP cắt MH tại P

Do đó: P là tâm đường tròn nội tiếp ΔMAB

Câu trả lời: