a: ΔOCD cân tại O

mà OF là đường cao

nên OF là phân giác của góc COD và F là trung điểm của CD

Xét (O) có

\(\hat{COA}\) là góc ở tâm chắn cung CA

\(\hat{DOA}\) là góc ở tâm chắn cung DA

\(\hat{COA}=\hat{DOA}\)

Do đó: sđ cung CA=sđ cung DA

Xét (O) có

\(\hat{CMA}\) là góc nội tiếp chắn cung CA

\(\hat{DMA}\) là góc nội tiếp chắn cung DA

sđ cung CA=sđ cung DA

Do đó: \(\hat{CMA}=\hat{DMA}\)

=>MA là phân giác của góc CMD

b: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥MB tại M

Xét tứ giác EFBM có \(\hat{EFB}+\hat{EMB}=90^0+90^0=180^0\)

nên EFBM là tứ giác nội tiếp

c: Xét (O) có

\(\hat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

\(\hat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{ACD}=\hat{AMC}\)

Xét ΔACE và ΔAMC có

\(\hat{ACE}=\hat{AMC}\)

góc CAE chung

Do đó: ΔACE~ΔAMC

=>\(\frac{AC}{AM}=\frac{AE}{AC}\)

=>\(AC^2=AE\cdot AM\)

a) Do M là điểm chính giữa của cung BC nên \(\widehat{OIC}=90^o\).

Mà \(\widehat{OHC}=90^o\) nên tứ giác HCIO nội tiếp đường tròn đường kính OC.

b) Do M là điểm chính giữa của cung BC nên hai cung MB, MC bằng nhau.

Từ đó \(\widehat{MAC}=\widehat{MAB}\) nên AM là tia phân giác của góc BAC.

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có \(\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{AC}{AB}=sin30^o=\dfrac{1}{2}\Rightarrow KB=2KC\).

a: Xét tứ giác OICH có \(\hat{OIC}+\hat{OHC}=90^0+90^0=180^0\)

nên OICH là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét ΔAHE vuông tại H và ΔAMB vuông tại M có

góc HAE chung

Do đó: ΔAHE~ΔAMB

=>\(\frac{AH}{AM}=\frac{AE}{AB}\)

=>\(AM\cdot AE=AH\cdot AB\)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AB=AC^2\)

=>\(AC^2=AM\cdot AE\)

1. vì M là điểm nằm chính giữa cung AC⇒AH=HC

-->OM đi qua trung điểm H của dây cung AC

--->OM⊥AC hay ∠MHC=90

có ∠AMB=90 (góc nội tiếp) nên BM//CK

⇒∠AMB=∠MKC=90 có ∠MKC+∠MHC=90+90=180

⇒tứ giác CKMH nội tiếp

2.ΔABC có ∠CBA+∠CAB=90

ΔAHO có ∠HOA+∠CAB=90

→∠CBA=∠HOA⇒CB//OH hay CB//MD

mà CD//MB ⇒tứ giác CDBM là hình bình hành

⇒CD=MB và DM=CB

OB=OC

MB=MC

=>OM là trung trực của BC

=>OM vuông góc BC tại I

góc CHO+góc CIO=180 độ

=>CHOI nội tiếp