\(\text{a) Xét tứ giác ADMO có:}\)
∠DMO =90o (do M là tiếp tuyến của (O))
∠DAO =90o (do AD là tiếp tuyến của (O))
=> ∠DMO + ∠DAO = 180o
=> Tứ giác ADMO là tứ giác nội tiếp.
\(\text{b) Do D là giao điểm của 2 tiếp tuyến DM và DA nên OD là tia phân giác của ∠AOM}\)
=>(AOD = \(\frac{1}{2}\)∠AOM
Mặt khác ta có (ABM là góc nội tiếp chắn cung AM
=> ∠ABM = \(\frac{1}{2}\)∠AOM
=> ∠AOD = ∠ABM
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> OD // BM
Xét tam giác ABN có:
OM// BM; O là trung điểm của AB
=> D là trung điểm của AN
c) Ta có: ΔOBM cân tại O ;OE ⊥MB =>OE là đường trung trực của MB
=>EM = EB => ΔMEB cân tại E => ∠EMB = ∠MEB (1)
ΔOBM cân tại O => ∠OMB = ∠OBM (2)
Cộng (1) và (2) vế với vế, ta được:
∠EMB + ∠OMB = ∠MEB + ∠OBM ⇔ ∠EMO =∠EOB ⇔ ∠EOB =90o
=>OB ⊥ BE
Vậy BE là tiếp tuyến của (O).
d) Lấy điểm E trên tia OA sao cho OE = \(\frac{OA}{3}\)
Xét tam giác OAI có OI vừa là đường cao vừa là trung tuyến
=> Tam giác OAI cân tại I => IA = IB; ∠IBA = ∠IAB
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{IBA}=\widehat{IAB}\\\widehat{IBA}+\widehat{INA}=90^0\\\widehat{NAI}+\widehat{IAB}=\widehat{NAB}=90^0\end{cases}}\)
=> ∠NAI = ∠INA => ΔINA cân tại I => IA = IN
Tam giác NAB vuông tại A có: IA = IN = IB
=> IA là trung tuyến của tam giác NAB
Xét ΔBNA có:
IA và BD là trung tuyến; IA ∩ BD = {J}
=> J là trọng tâm của tam giác BNA
Xét tam giác AIO có:
\(\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{AE}{A0}=\frac{2}{3}\Rightarrow\text{JE}\text{//}OI\)
=> J nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng bằng R/3.
Phần đảo: Lấy điểm J' bất kì thuộc đường thẳng d
Do d// OI (cùng vuông góc AB) nên ta có:
\(\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{AE}{A0}\)
\(\text{MÀ}\frac{AE}{AO}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{2}{3}\)
AI là trung tuyến của tam giác NAB
=> J' là trọng tâm tam giác NAB
Vậy khi M di chuyển trên (O) thì J di chuyển trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng là R/3.
HÌNH Ở TRONG THỐNG KÊ HỎI ĐÁP NHA
a) Tứ giác ACMD là hình thoi vì có 2 đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) OI là đường trung trực của tam giác cân COD nên góc COI = góc DOI.
=> \(\Delta OCI=\Delta ODI\)(c.g.c) => góc ODI = góc OCI = 90o, do đó ID cắt OD.
Vậy ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).
a) Ta có CD vuông góc với AM tại trung điểm (1)
=> OA vuông góc với CD tại trung điểm
=>> AM vuông góc với CD tại trung điểm (2)
Từ (1), (2)=> ACMD là hình thoi
A o M N c P E B x D
a. Tam giác DBE có đường trung tuyến BO bằng \frac{1}{2}21 ED nên là tam giác vuông, suy ra \widehat{DBE}={90}^\circDBE=90∘
\Rightarrow \widehat{OBE}=\widehat{DBA}⇒ OBE=DBA (vì cùng phụ với \widehat{DBO}DBO) (1)
Trong tam giác cân OBE, ta có \widehat{OBE}=\widehat{OEB}OBE=OEB (2)
Từ (1) và (2) ta được \widehat{OEB}=\widehat{DBA}OEB=DBA.
Suy ra \Delta ADB\ \backsim\Delta ABEΔADB ∽ΔABE (g.g) (Vì chúng có chung góc A).
Ta được d\frac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\Rightarrow AD.AE=AB^2dABAD=AEAB⇒AD.AE=AB2.
b. Từ kết quả câu a, ta có
a. Tam giác DBE có đường trung tuyến BO bằng $\frac{1}{2}$ ED nên là tam giác vuông, suy ra $\widehat{DBE}={90}^\circ$
$\Rightarrow \widehat{OBE}=\widehat{DBA}$ (vì cùng phụ với $\widehat{DBO}$) (1)
Trong tam giác cân OBE, ta có $\widehat{OBE}=\widehat{OEB}$ (2)
Từ (1) và (2) ta được $\widehat{OEB}=\widehat{DBA}$.
Suy ra $\Delta ADB\ \backsim\Delta ABE$ (g.g) (Vì chúng có chung góc A).
Ta được $d\frac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\Rightarrow AD.AE=AB^2$.
b. Từ kết quả câu a, ta có
$\frac{DE}{AE}=\frac{AD}{DE}\Rightarrow\frac{DE}{AE-DE}=\frac{AD}{DE-AD}$.
Lại có: DE = 2BO = AB (giả thiết) và AD = AC nên:
$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AB-AC}\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CB}\Rightarrow AC^2=CB.AB$.
c. $\Delta DAM\backsim\Delta DON$ (g.g) $\Rightarrow\frac{DM}{DN}=\frac{AD}{OD}$.
Tương tự, $\frac{DP}{DB}=\frac{AD}{OD}\Rightarrow\Delta DPM\backsim\Delta DBN$ (c.g.c)
a, tam giác DBE có đường trung tuyến BO bằng 1/2 ED nên là tam giác vuông , suy ra góc DBE = 90 đọ
suy ra góc OBE = góc DBA ( vì cùng phụ vs DBO ) (1)
trong tam giác cân OBE, ta có góc OBE=OEB (2)
từ (1) và (2) ta được góc OEB =DBA
suy ra tam giác ADB đồng dạng ABE(gg)(vì có chung góc A)
ta được AD/DE= AB/AE suy ra AD.AE = AB bình
b, từ câu a, ta có
DE/AE = DA/DE suy ra DE/AE.DE= AD/ DE.AD
lại có AD/AB= AD/AB.AC suy ra AB/AC= AC/BC suy ra AC bình = CB.AB
c, tam giác DAM đồng dạng DON (gg) suy ra DM /DN = AD/OD
tương tự DP/DB =AD/OD suy ra tam giác DPM đông dạng DBN (cgc)
a. Tam giác DBE có đường trung tuyến BO bằng \frac{1}{2}21 ED nên là tam giác vuông, suy ra \widehat{DBE}={90}^\circDBE=90∘
\Rightarrow \widehat{OBE}=\widehat{DBA}⇒ OBE=DBA (vì cùng phụ với \widehat{DBO}DBO) (1)
Trong tam giác cân OBE, ta có \widehat{OBE}=\widehat{OEB}OBE=OEB (2)
Từ (1) và (2) ta được \widehat{OEB}=\widehat{DBA}OEB=DBA.
Suy ra \Delta ADB\ \backsim\Delta ABEΔADB ∽ΔABE (g.g) (Vì chúng có chung góc A).
Ta được d\frac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\Rightarrow AD.AE=AB^2dABAD=AEAB⇒AD.AE=AB2.
b. Từ kết quả câu a, ta có
a. Tam giác DBE có đường trung tuyến BO bằng \frac{1}{2}21 ED nên là tam giác vuông, suy ra \widehat{DBE}={90}^\circDBE=90∘
\Rightarrow \widehat{OBE}=\widehat{DBA}⇒ OBE=DBA (vì cùng phụ với \widehat{DBO}DBO) (1)
Trong tam giác cân OBE, ta có \widehat{OBE}=\widehat{OEB}OBE=OEB (2)
Từ (1) và (2) ta được \widehat{OEB}=\widehat{DBA}OEB=DBA.
Suy ra \Delta ADB\ \backsim\Delta ABEΔADB ∽ΔABE (g.g) (Vì chúng có chung góc A).
Ta được d\frac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\Rightarrow AD.AE=AB^2dABAD=AEAB⇒AD.AE=AB2.
b. Từ kết quả câu a, ta có
a) Xét ΔDBE có đường trung tuyến BO=\(\dfrac{1}{2}\)ED nên là tam giác vuông
⇒ góc DBE =90độ
⇒OBE =DBA( vì cùng phụ với DBO) (1)
Trong Δ cân OBE, ta có OBE=OEB(2)
Từ(1)và(2) ta dduocj OEB = DBA
a. Tam giác DBE có đường trung tuyến BO bằng \frac{1}{2}21 ED nên là tam giác vuông, suy ra \widehat{DBE}={90}^\circDBE=90∘
\Rightarrow \widehat{OBE}=\widehat{DBA}⇒ OBE=DBA (vì cùng phụ với \widehat{DBO}DBO) (1)
Trong tam giác cân OBE, ta có \widehat{OBE}=\widehat{OEB}OBE=OEB (2)
Từ (1) và (2) ta được \widehat{OEB}=\widehat{DBA}OEB=DBA.
Suy ra \Delta ADB\ \backsim\Delta ABEΔADB ∽ΔABE (g.g) (Vì chúng có chung góc A).
Ta được d\frac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\Rightarrow AD.AE=AB^2dABAD=AEAB⇒AD.AE=AB2.
b. Từ kết quả câu a, ta có
\frac{DE}{AE}=\frac{AD}{DE}\Rightarrow\frac{DE}{AE-DE}=\frac{AD}...
a. Tam giác DBE có đường trung tuyến BO bằng \frac{1}{2}21 ED nên là tam giác vuông, suy ra \widehat{DBE}={90}^\circDBE=90∘
\Rightarrow \widehat{OBE}=\widehat{DBA}⇒ OBE=DBA (vì cùng phụ với \widehat{DBO}DBO) (1)
Trong tam giác cân OBE, ta có \widehat{OBE}=\widehat{OEB}OBE=OEB (2)
Từ (1) và (2) ta được \widehat{OEB}=\widehat{DBA}OEB=DBA.
Suy ra \Delta ADB\ \backsim\Delta ABEΔADB ∽ΔABE (g.g) (Vì chúng có chung góc A).
Ta được d\frac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\Rightarrow AD.AE=AB^2dABAD=AEAB⇒AD.AE=AB2.
b. Từ kết quả câu a, ta có
\frac{DE}{AE}=\frac{AD}{DE}\Rightarrow\frac{DE}{AE-DE}=\frac{AD}{DE-AD}
Đúng(0)
a. Tam giác DBE có đường trung tuyến BO bằng \frac{1}{2}21 ED nên là tam giác vuông, suy ra \widehat{DBE}={90}^\circDBE=90∘
\Rightarrow \widehat{OBE}=\widehat{DBA}⇒ OBE=DBA (vì cùng phụ với \widehat{DBO}DBO) (1)
Trong tam giác cân OBE, ta có \widehat{OBE}=\widehat{OEB}OBE=OEB (2)
Từ (1) và (2) ta được \widehat{OEB}=\widehat{DBA}OEB=DBA.
Suy ra \Delta ADB\ \backsim\Delta ABEΔADB ∽ΔABE (g.g) (Vì chúng có chung góc A).
Ta được d\frac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\Rightarrow AD.AE=AB^2dABAD=AEAB⇒AD.AE=AB2.
b....