Gọi D là giao điểm của IC và MN; E là giao điểm của IA và PN; F là giao điểm của IB và PM.

Ta có: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay IM = IN = IP.

Xét tam giác vuông INC và tam giác vuông IMC:

     IC chung;

     IN = IM.

Vậy \(\Delta INC = \Delta IMC\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {MIC} = \widehat {NIC}\)( 2 góc tương ứng).

Tương tự: \(\Delta IPA = \Delta INA\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {PIA} = \widehat {NIA}\)( 2 góc tương ứng).

     \(\Delta IPB = \Delta IMB\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {PIB} = \widehat {MIB}\)( 2 góc tương ứng).

Xét hai tam giác IDN và IDM có:

     ID chung;

     \(\widehat {NID} = \widehat {MID}\);

     IN = IM.

Vậy \(\Delta IDN = \Delta IDM\)(c.g.c)

\(\Rightarrow DN = DM\) ( 2 cạnh tương ứng);

 \(\widehat {IDN} = \widehat {IDM}\) ( 2 góc tương ứng)

Mà  \(\widehat {IDN} + \widehat {IDM}=180^0\) ( 2 góc kề bù)

\(\Rightarrow \widehat {IDN} = \widehat {IDM}= 180^0:2=90^0\).

Suy ra: IC là đường trung trực của cạnh MN.

Tương tự ta có:

IA là đường trung trực của cạnh PN; IB là đường trung trực của cạnh PM.

tìm n biết 2(n+5) chia hết cho 3(n+1)

\(\left\{{}\begin{matrix}AC=BC\\AN=NB\\CN\text{ chung}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta ACN=\Delta BCN\left(c.c.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{ANC}=\widehat{BNC}\\ \text{Kết hợp với }AN=NB;NI\text{ chung}\\ \Rightarrow\Delta AIN=\Delta BIN\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow AI=BI\left(1\right)\)

Cmtt \(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta CBM\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{CMB}\\ \Rightarrow\Delta AIM=\Delta CIM\\ \Rightarrow AI=CI\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow AI=BI=CI\)

Ta có: \(AM=MC=\frac{AC}{2}\)

\(AN=NB=\frac{AB}{2}\)

mà AC=AB

nên AM=MC=AN=NB

Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC

\(\hat{BAM}\) chung

AM=AN

Do đó: ΔABM=ΔACN

=>BM=CN

Xét ΔABC có

BM,CN là các đường trung tuyến

BM cắt CN tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔABC

=>\(IB=\frac23BM;CI=\frac23CN\)

mà BM=CN

nên IB=IC

Xét ΔBMA và ΔBMC có

BM chung

MA=MC

BA=BC

Do đó: ΔBMA=ΔBMC

=>\(\hat{BMA}=\hat{BMC}\)

mà \(\hat{BMA}+\hat{BMC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BMA}=\hat{BMC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>BM⊥AC tại M

Xét ΔIMA vuông tại M và ΔIMC vuông tại M có

IM chung

MA=MC

Do đó: ΔIMA=ΔIMC

=>IA=IC

=>IA=IC=IB