1: ΔAMC đều

=>AM=MC=AC và \(\hat{AMC}=\hat{ACM}=\hat{MAC}=60^0\)

ΔBMD đều

=>BM=BD=DM và \(\hat{BDM}=\hat{BMD}=\hat{MBD}=60^0\)

Ta có: \(\hat{AMC}+\hat{CMD}+\hat{DMB}=180^0\)

=>\(\hat{CMD}=180^0-60^0-60^0=60^0\)

\(\hat{AMD}=\hat{AMC}+\hat{CMD}=60^0+60^0=120^0\)

\(\hat{CMB}=\hat{CMD}+\hat{DMB}=60^0+60^0=120^0\)

Xét ΔAMD và ΔCMB có

AM=CM

\(\hat{AMD}=\hat{CMB}\)

MD=MB

Do đó: ΔAMD=ΔCMB

=>AD=CB

2: ΔAMD=ΔCMB

=>\(\hat{MAD}=\hat{MCB};\hat{MDA}=\hat{MBC}\)

Xét tứ giác AMPC có \(\hat{MAP}=\hat{MCP}\)

nên AMPC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác PDBM có \(\hat{MDP}=\hat{MBP}\)

nên PDBM là tứ giác nội tiếp

a) Vì C M A = D M B = 60 o ⇒ C M B = D M A = 120 o .  Xét ∆ CMB và ∆ AMD có

C M = A M C M B = D M A ⇒ Δ C M B = Δ A M D ( c . g . c ) M B = M D ⇒ M C B = M A D M B C = M D A

Suy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

c) Ta có EF là đường trung trực của PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân tại E

Mặt khác EPM = ACM = 60^o (do AMPC là tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM đều

⇒ PE = PM . Tương tự PF = PM

Ta có CM // DB nên PCM = PBD

Mà BMPD là tứ giác nội tiếp nên  PBD = PMD. Suy ra PCM = PMD

Ta lại có CPM = DPM = 120^o ⇒ Δ C P M ~ Δ M P D ( g . g ) ⇒ C P M P = P M P D ⇒ C P P F = P E P D

Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE là hình thang.

b) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nên

C P M = 180 o − C A M = 120 o = C M B ⇒ Δ C P M ~ Δ C M B ( g . g ) ⇒ C P C M = C M C B ⇒ C P . C B = C M 2 ⇒ C P . C B = C M .

Tương tự  D P . D A = D M

Vậy  C P . C B + D P . D A = C M + D M = A M + B M = A B