Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36\)

=>AH=6(cm)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\)

=>\(AM=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\)

=>\(AN=\frac{AH^2}{AC}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>\(S_{AMHN}=AM\cdot AN=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB\cdot AC}\)

\(=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}=\frac{6^3}{a}=\frac{216}{a}\)

Gọi O là trung điểm của BC

=>AH<=AO

ΔABC vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên BC=2AO

=>BC=2AO>=2AH

Để AMHN có diện tích lớn nhất thì BC nhỏ nhất nhất

mà BC=2AO>=2AH=12(cm)

nên BC=12(cm)

=>\(S_{AMHN}=\frac{216}{12}=18\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Tương tự, HS tự làm

a)Áp dụng HTL2 vào tam giác ABC cuông tại A, đường cao AH ta có:

AH²=BH.HC=9.16=144

<=>AH=√144=12((cm)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông BHA ta có:

BA²=AH²+BH²=12²+9²=225

<=>BA=√225=15(cm)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông CHA ta có:

CA²=AH²+CH²=12²+16²=20(cm)

Vậy AB=15cm,AC=20cm,AH=12cm

...............................................................................

..........................................................................................

...........................................................................tgbvn JGKGITJNNFJFJNFJBFÒNBFOHRJ;FFJh' IIIor   ỉie

                                 Giải : 

Ta có hình vẽ :

A B C H D E

a ) Ta có :

+ ) \(AH^2=BH.CH=9.16=144cm^2\)

\(\Rightarrow AH=12cm\)

+ ) \(AB^2=BH.BC=9.25=225cm^2\)

\(\Rightarrow AB=15cm\)

+ ) \(AC^2=CH.BC=16.25=400cm^2\)

\(\Rightarrow AC=20cm\)

b ) Chứng minh được tứ giác ADHE là hình chữ nhật

c  ) Ta có :

+ ) \(HD.AB=HA.HB\)

\(\Rightarrow HD=\frac{HA.HB}{AB}=\frac{12.9}{15}=7,2cm\)

+ ) \(HE.AC=HA.HC\)

\(\Rightarrow HE=\frac{HA.HC}{AC}=\frac{12.16}{20}=9,6cm\)

\(\Rightarrow P\left(ADHE\right)=\left(7,2+9,6\right).2=33,6\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow S\left(ADHE\right)=7,2\times9,6=69,12\left(cm^2\right)\)