Phương trình tổng quát \(\Delta\):

\(\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-3}{1}\)=> x-2y+4=0

a. Vì M \(\in\) \(\Delta\)=> M (2y-4;y)

Theo giả thiết, MA=5 <=> \(\sqrt{(-2y+4)^{2}+(1-y)^{2}}\)=5

<=> \(5y^2-18y-8=0\)

<=>y=4 và y=\(\dfrac{-2}{5}\)

Vậy M₁(4;4) và M₂(\(\dfrac{-24}{5};\dfrac{-2}{5}\))

b. Gọi I là tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\Delta\)với đường thẳng (d): x+y+1=0

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} x-2y+4=0\\ x+y+1=0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=-2\\ y=1 \end{cases}\)

=> I(-2;1) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta\)với đường thẳng d

c. Nhận thấy, điểm A\(\notin\)\(\Delta\)

Để AM ngắn nhất <=> M là hình chiếu của A trên đường thẳng \(\Delta\)

Vì M\(\in\Delta\)=> M(2y-4;y)

Ta có: Vectơ chỉ phương của \(\overrightarrow{AM}\)là \(\overrightarrow{u}\)(2;1)

\(\overrightarrow{AM}\) (2y-4;y-1)

Vì A là hình chiếu của A trên \(\Delta\)nên \(\overrightarrow{AM}\)\(\perp\Delta\)

<=> \(\overrightarrow{AM}\)\(\perp\overrightarrow{u}\)

<=> \(\begin{matrix}\overrightarrow{AM}&\overrightarrow{u}\end{matrix}\) =0

<=> 2(2y-4)+(y-1)=0

<=> 5y-9=0

<=> y= \(\dfrac{9}{5}\)

=> B (\(\dfrac{-2}{5}\);\(\dfrac{4}{5}\))

Giải đi

Bài 3:

H thuộc Δ nên H(x;4/5x+3/5)

\(\overrightarrow{AH}=\left(x+1;\dfrac{4}{5}x-\dfrac{12}{5}\right)\)

Δ: 4x-5y+3=0

=>VTPT là (4;-5)

=>VTCP là (5;4)

Theo đề, ta có: 5(x+1)+4(4/5x-12/5)=0

=>5x+5+16/5x-48/5=0

=>31/5x-23/5=0

=>x=23/31

=>y=4/5*23/31+3/5=37/31

a+9b=23/31+9*37/31=356/31

Ta có đường thẳng \(\Delta\) có hệ số góc \(k=-1\) do đó góc giữa  \(\Delta\) và Ox bằng \(45^0\). Do d tạo với  \(\Delta\) góc \(60^0\) nên d không có phương vuông góc với Ox. Gọi l là hệ số góc của d khi đó d có phương trình : \(y=l\left(x-1\right)+1\).

Theo định lí ta có :

\(\left|\frac{k-l}{1+kl}\right|=\tan60^0\)\(\Leftrightarrow\left|l+1\right|=\sqrt{3}.\left|1-l\right|\)

Giải phương trình ta được \(l=2\pm\sqrt{3}\)

Vậy ta tìm được 2 đường thẳng  thỏa mãn \(d:y=\left(2\pm\sqrt{3}\right)\left(x-1\right)+1\)

+​câu a:+ gọi d là đường thẳng qua O vuông góc với \(\Delta\): pt d :x+y+m=0 , O(00) \(\in d\Rightarrow m=0\). vậy pt d :x+y =0

+giao điểm H của d và \(\Delta\) thỏa \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(-1;1\right)\)

+goi O' la diem doi xung voi O qua d \(\Rightarrow\)H là trung điểm OO'

\(\Rightarrow O'\left(-2;2\right)\)

​câu b : goi M (a;b) \(\in\Delta\Rightarrow M\left(a;a+2\right)\)

+ O' doi xung O qua \(\Delta\) nen MO = MO'.

+ OM+MA=O'M+MA\(\ge OA\) ​dấu bằng xảy ra khi O',M,A thang hang \(\Leftrightarrow\overrightarrow{O'M}\)cùng phương với \(\overrightarrow{O'A}\)

+ \(\overrightarrow{O'M}=\left(a+2;a\right);\overrightarrow{O'A}=\left(4;-2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+2}{4}=\dfrac{a}{-2}\Rightarrow a=\dfrac{-2}{3}\Rightarrow M\left(\dfrac{-2}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)