Câu a

Xét tam giác ABD và AMD có

AB = AM từ gt

Góc BAD = MAD vì AD phân giác BAM

AD chung

=> 2 tam guacs bằng nhau

Câu b

Ta có: Góc EMD bằng CMD vì góc ABD bằng AMD

Bd = bm vì 2 tam giác ở câu a bằng nhau

Góc BDE bằng MDC đối đỉnh

=> 2 tam giác bằng nhau

A B C M N Q P O R S T A B C H M D I A B C D K G M K E P F (Hình a) (Hình b) (Hình c) Q I

Bài toán 1: (Hình a)

Gọi đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt AC tại R, qua P kẻ đường thẳng song song với BC. Đường thẳng này cắt AM,AN,BC lần lượt tại S,T,K.

Ta thấy \(\Delta\)APR có AN vừa là đường cao, đường phân giác => \(\Delta\)APR cân tại A => AP = AR, NP = NR

Áp dụng hệ quả ĐL Thales \(\frac{BM}{PS}=\frac{CM}{KS}\left(=\frac{AM}{AS}\right)\)=> PS = KS

Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác: \(\frac{TK}{TP}=\frac{AK}{AP}\Rightarrow\frac{ST+SK}{TP}=\frac{AK}{AR}\)

\(\Rightarrow\frac{2ST+PT}{TP}=\frac{AR+RK}{AR}\Rightarrow\frac{2ST}{TP}=\frac{RK}{AR}\)

Dễ thấy NS là đường trung bình của  \(\Delta\)RKP => RK = 2NS. Do đó \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}\)

Đồng thời NS // AR, suy ra \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}=\frac{SQ}{QA}\)=> QT // AP (ĐL Thaels đảo)

Mà AP vuông góc PO nên QT vuông góc PO. Từ đây suy ra T là trực tâm của \(\Delta\)POQ

=> QO vuông góc PT. Lại có PT // BC nên QO vuông góc BC (đpcm).

Bài toán 2: (Hình b)

Ta có IB = IC => \(\Delta\)BIC cân tại I => ^IBC = ^ICB = ^ACB/2 => \(\Delta\)MCI ~ \(\Delta\)MBC (g.g)

=> MC² = MI.MB. Xét \(\Delta\)AHC có ^AHC = 90⁰ , trung tuyến HM => HM = MC

Do đó MH² = MI.MB => \(\Delta\)MIH ~ \(\Delta\)MHB (c.g.c) => ^MHI = ^MBH = ^MBC = ^MCI

=> Tứ giác CHIM nội tiếp. Mà CI là phân giác ^MCH nên (IH = (IM hay IM = IH (đpcm).

Bài toán 3: (Hình c)

a) Gọi đường thẳng qua C vuông góc CB cắt MK tại F, DE cắt BC tại Q, CG cắt BD tại I.

Áp dụng ĐL Melelaus:\(\frac{MB}{MC}.\frac{GA}{GB}.\frac{DC}{DA}=1\)suy ra \(\frac{DC}{DA}=2\)=> A là trung điểm DC

Khi đó G là trọng tâm của \(\Delta\)BCD. Do CG cắt BD tại I nên I là trung điểm BD

Dễ thấy \(\Delta\)BCD vuông cân tại B => BI = CM (=BC/2). Từ đó \(\Delta\)IBC = \(\Delta\)MCF (g.c.g)

=> CB = CF => \(\Delta\)BCF vuông cân ở C => ^CBA = ^CBF (=45⁰) => B,A,F thẳng hàng

=> CA vuông góc GF. Từ đó K là trực tâm của \(\Delta\)CGF => GK vuông góc CF => GK // CM

Theo bổ đề hình thang thì P,Q lần lượt là trung điểm GK,CM. Kết hợp \(\Delta\)CEM vuông ở E

=> EQ=CM/2. Áp dụng ĐL Melelaus có \(\frac{GD}{GM}.\frac{EQ}{ED}.\frac{CM}{CQ}=1\)=> \(\frac{EQ}{ED}=\frac{1}{4}\)

=> \(\frac{ED}{CM}=2\)=> DE = 2CM = BC (đpcm).

b) Theo câu a thì EQ là trung tuyến của \(\Delta\)CEM vuông tại E => EQ = QC => ^QEC = ^QCE

Vì vậy ^PEG = ^QEC = ^QCE = ^PGE => \(\Delta\)EPG cân tại P => PG = PE (đpcm).

hình tự vẽ

a, Xét △AKB và △AKC

Có: BK = KC (gt)

   AK là cạnh chung

     AB = AC (gt)

=> △AKB = △AKC (c.c.c)

b, Vì △AKB = △AKC (cmt)

=> AKB = AKC (2 góc tương ứng)

Mà AKB + AKC = 180^o (2 góc kề bù)

=> AKB = AKC = 180^o : 2 = 90^o

=> AK ⊥ BC

c, Vì AK ⊥ BC (cmt)

        CE ⊥ BC (gt)

=> AK // CE (từ vuông góc đến song song)

A B C M N I a b

a.Tam giác ABC có AB=AC vậy tâm giác ABC là tam giác cân

Vậy xét tam giác AMB và AMC có AB=AC (gt)

                                                  góc B=góc C ( tam giác cân)

                                                  BM=CM (gt)

Vậy tam giác AMB=tam giác AMC (c.g.c)

b.

Vì tam giác AMB= tam giác AMC nên góc AMC= góc AMB mà AMB + AMC = 180 ( kề bù)

Vậy suy ra AMB=AMC=90 độ vậy AM vuông góc BC

Ta có AM vuông góc BC

        AM vuông góc a

Vậy BC//a

c.

Ta có  góc NAC=góc ACM( AN//MC)

          AC chung

         góc NCA= góc MAC ( AM// NC)

Vậy tam giác AMC= tam giác CNA (g.c.g)

What grade are you in?

a) Xét \(\Delta AKB\)và \(\Delta AKC\)có:

          AB = AC (gt)

          AK là cạnh chung

          KB = KC (gt)

\(\Rightarrow\Delta AKB=\Delta AKC\left(c-c-c\right)\)

b) Ta có:  \(\Delta AKB=\Delta AKC\)(theo a)

\(\Rightarrow\widehat{AKB}=\widehat{AKC}\)(2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AKB}+\widehat{AKC}=180^o\)(2 góc kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AKB}=\widehat{AKC}=90^o\)

\(\Rightarrow AK\perp BC\)

c) Ta có: \(\hept{\begin{cases}EC\perp BC\\AK\perp BC\end{cases}\Rightarrow EC//AK}\)

B A M C K

a. Vì K là trung điểm của AC

=> AK = KC 

Từ \(\Delta BAK\)và \(\Delta BKC\), TA CÓ:

BK:  cạnh chung 

AK = KC 

AB = BC

\(\Rightarrow\Delta BAK=\Delta BKC\)( C.C.C ) 

B , Ta có : \(\widehat{AKB}\)VÀ \(\widehat{CKB}\)KỀ BÙ 

Mà \(\widehat{BKA}\)\(=BKC\)

=> BK \(\perp\)AC

c , tự làm

Mình có hình cho câu a) thôi nha.

a) Xét 2 \(\Delta\) \(BEA\) và \(BEM\) có:

\(BA=BM\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{MBE}\) (vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

Cạnh BE chung

=> \(\Delta BEA=\Delta BEM\left(c-g-c\right).\)

b) Theo câu a) ta có \(\Delta BEA=\Delta BEM.\)

=> \(EA=EM\) (2 cạnh tương ứng).

=> E thuộc đường trung trực của \(AM\) (1).

Vì \(BA=BM\left(gt\right)\)

=> B thuộc đường trung trực của \(AM\) (2).

Từ (1) và (2) => \(BE\) là đường trung trực của \(AM.\)

Ta có: \(\widehat{ABE}=\widehat{MBE}\) (vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

=> \(\widehat{ABN}=\widehat{MBN}.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(ABN\) và \(MBN\) có:

\(AB=MB\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABN}=\widehat{MBN}\left(cmt\right)\)

Cạnh BN chung

=> \(\Delta ABN=\Delta MBN\left(c-g-c\right)\)

=> \(AN=MN\) (2 cạnh tương ứng).

=> N là trung điểm của \(AM.\)

Chúc bạn học tốt!