Câu a

Xét tam giác ABD và AMD có

AB = AM từ gt

Góc BAD = MAD vì AD phân giác BAM

AD chung

=> 2 tam guacs bằng nhau

Câu b

Ta có: Góc EMD bằng CMD vì góc ABD bằng AMD

Bd = bm vì 2 tam giác ở câu a bằng nhau

Góc BDE bằng MDC đối đỉnh

=> 2 tam giác bằng nhau

A B C M N Q P O R S T A B C H M D I A B C D K G M K E P F (Hình a) (Hình b) (Hình c) Q I

Bài toán 1: (Hình a)

Gọi đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt AC tại R, qua P kẻ đường thẳng song song với BC. Đường thẳng này cắt AM,AN,BC lần lượt tại S,T,K.

Ta thấy \(\Delta\)APR có AN vừa là đường cao, đường phân giác => \(\Delta\)APR cân tại A => AP = AR, NP = NR

Áp dụng hệ quả ĐL Thales \(\frac{BM}{PS}=\frac{CM}{KS}\left(=\frac{AM}{AS}\right)\)=> PS = KS

Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác: \(\frac{TK}{TP}=\frac{AK}{AP}\Rightarrow\frac{ST+SK}{TP}=\frac{AK}{AR}\)

\(\Rightarrow\frac{2ST+PT}{TP}=\frac{AR+RK}{AR}\Rightarrow\frac{2ST}{TP}=\frac{RK}{AR}\)

Dễ thấy NS là đường trung bình của  \(\Delta\)RKP => RK = 2NS. Do đó \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}\)

Đồng thời NS // AR, suy ra \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}=\frac{SQ}{QA}\)=> QT // AP (ĐL Thaels đảo)

Mà AP vuông góc PO nên QT vuông góc PO. Từ đây suy ra T là trực tâm của \(\Delta\)POQ

=> QO vuông góc PT. Lại có PT // BC nên QO vuông góc BC (đpcm).

Bài toán 2: (Hình b)

Ta có IB = IC => \(\Delta\)BIC cân tại I => ^IBC = ^ICB = ^ACB/2 => \(\Delta\)MCI ~ \(\Delta\)MBC (g.g)

=> MC² = MI.MB. Xét \(\Delta\)AHC có ^AHC = 90⁰ , trung tuyến HM => HM = MC

Do đó MH² = MI.MB => \(\Delta\)MIH ~ \(\Delta\)MHB (c.g.c) => ^MHI = ^MBH = ^MBC = ^MCI

=> Tứ giác CHIM nội tiếp. Mà CI là phân giác ^MCH nên (IH = (IM hay IM = IH (đpcm).

Bài toán 3: (Hình c)

a) Gọi đường thẳng qua C vuông góc CB cắt MK tại F, DE cắt BC tại Q, CG cắt BD tại I.

Áp dụng ĐL Melelaus:\(\frac{MB}{MC}.\frac{GA}{GB}.\frac{DC}{DA}=1\)suy ra \(\frac{DC}{DA}=2\)=> A là trung điểm DC

Khi đó G là trọng tâm của \(\Delta\)BCD. Do CG cắt BD tại I nên I là trung điểm BD

Dễ thấy \(\Delta\)BCD vuông cân tại B => BI = CM (=BC/2). Từ đó \(\Delta\)IBC = \(\Delta\)MCF (g.c.g)

=> CB = CF => \(\Delta\)BCF vuông cân ở C => ^CBA = ^CBF (=45⁰) => B,A,F thẳng hàng

=> CA vuông góc GF. Từ đó K là trực tâm của \(\Delta\)CGF => GK vuông góc CF => GK // CM

Theo bổ đề hình thang thì P,Q lần lượt là trung điểm GK,CM. Kết hợp \(\Delta\)CEM vuông ở E

=> EQ=CM/2. Áp dụng ĐL Melelaus có \(\frac{GD}{GM}.\frac{EQ}{ED}.\frac{CM}{CQ}=1\)=> \(\frac{EQ}{ED}=\frac{1}{4}\)

=> \(\frac{ED}{CM}=2\)=> DE = 2CM = BC (đpcm).

b) Theo câu a thì EQ là trung tuyến của \(\Delta\)CEM vuông tại E => EQ = QC => ^QEC = ^QCE

Vì vậy ^PEG = ^QEC = ^QCE = ^PGE => \(\Delta\)EPG cân tại P => PG = PE (đpcm).

hình tự vẽ

a, Xét △AKB và △AKC

Có: BK = KC (gt)

   AK là cạnh chung

     AB = AC (gt)

=> △AKB = △AKC (c.c.c)

b, Vì △AKB = △AKC (cmt)

=> AKB = AKC (2 góc tương ứng)

Mà AKB + AKC = 180^o (2 góc kề bù)

=> AKB = AKC = 180^o : 2 = 90^o

=> AK ⊥ BC

c, Vì AK ⊥ BC (cmt)

        CE ⊥ BC (gt)

=> AK // CE (từ vuông góc đến song song)

A B C M N I a b

a.Tam giác ABC có AB=AC vậy tâm giác ABC là tam giác cân

Vậy xét tam giác AMB và AMC có AB=AC (gt)

                                                  góc B=góc C ( tam giác cân)

                                                  BM=CM (gt)

Vậy tam giác AMB=tam giác AMC (c.g.c)

b.

Vì tam giác AMB= tam giác AMC nên góc AMC= góc AMB mà AMB + AMC = 180 ( kề bù)

Vậy suy ra AMB=AMC=90 độ vậy AM vuông góc BC

Ta có AM vuông góc BC

        AM vuông góc a

Vậy BC//a

c.

Ta có  góc NAC=góc ACM( AN//MC)

          AC chung

         góc NCA= góc MAC ( AM// NC)

Vậy tam giác AMC= tam giác CNA (g.c.g)

What grade are you in?

a) Xét \(\Delta AKB\)và \(\Delta AKC\)có:

          AB = AC (gt)

          AK là cạnh chung

          KB = KC (gt)

\(\Rightarrow\Delta AKB=\Delta AKC\left(c-c-c\right)\)

b) Ta có:  \(\Delta AKB=\Delta AKC\)(theo a)

\(\Rightarrow\widehat{AKB}=\widehat{AKC}\)(2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AKB}+\widehat{AKC}=180^o\)(2 góc kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AKB}=\widehat{AKC}=90^o\)

\(\Rightarrow AK\perp BC\)

c) Ta có: \(\hept{\begin{cases}EC\perp BC\\AK\perp BC\end{cases}\Rightarrow EC//AK}\)

Bài 1: sửa đề : a) CM: DC//AB

a)xét tam giác NAM và tam giác NCD có:

góc ANM= góc CND

AN=NC

MN=ND

=> △NAM=△NCD(c.g.c)

=> \(DC=AM\) và góc DCN= góc NAM=> DC//AM

=> \(DC=\frac12AB\) và DC//AB

b) xét tam giác NAD và tam giác NCM có:

góc AND= góc CNM( đối đỉnh)

MN=ND

NA=NC

=> △NAD=△NCM(c.g.c)

=> AD=MC

c) xét tam giác DCM và tam giác BMC có:

góc DCM= góc BMC( so le trong)

MB=DC= MA

MC chung

=> △DCM=△BMC(c.g.c)

=> góc DMC= góc MCB và DM=BC

=> MN=\(\frac12BC\) và MN//BC

Bài 2:

a) xét tam giác ADE và tam giác ABC có:

AD=AB

AE=AC

góc DAE= góc BAC= 90 độ

=> △ADE=△ABC(c.g.c)

=> DE=BC

b) ta có △ADE=△ABC

=> góc BEH= góc ACB

ta có góc HBE= góc ABC( đối đỉnh)

xét tam giác ABC:

=> góc ABC+ góc ACB= 90 độ

=> góc HBE+ góc HEB= 90 độ

=> góc BHE= 90 độ

=> BC⊥DE

c) ta có DN=\(\frac12DE\)

\(BM=\frac12BC\)

mà DE=BC

=> DN=BM

xét tam giác ABM và tam giác ADN có:

AB=AD

DN=BM

góc ABM= góc ADN( từ câu a)

=> △ABM=△ADN

=> AN=AM và góc DAN= góc BAM

mà góc DAN+ góc NAE= 90 độ

=> góc BAM+ góc NAE= 90 độ= góc NAM

=> AN⊥AM

Bài 3:

a) xét tam giác AMC và tam giác NMB có:

góc ACM= góc MBN( so le trong)

MC=BM

góc AMC= góc NMB( đối đỉnh)

=> △AMC=△NMB(g.c.g)

=> BN=CA

b) ta có góc BAC+góc DAB+ góc DAE+ gócEAC= 360 độ

thay góc DAB= 90 độ và góc EAC= 90 độ ta có:

góc BAC+ góc DAE= 360 độ- 90 độ- 90 độ

= 180 độ

c)

ta có △MBN=△MAC

=> MA=MN

=> \(MA=\frac12AN\)

ta có góc CAB+ góc ABN= 180 độ( hai góc trong cùng phía bù nhau)

mà góc BAC+ góc DAE= 180 độ

=> góc DAE= góc ABN

xét tam giác EAD và tam giác NBA có:

góc ABN= góc DAE

AB=AD

AE=BN=AC

=> △EAD=△NBA

=> DE=AN

=> \(AM=\frac12AN=\frac12DE\left(đpcm\right)\)

B A M C K

a. Vì K là trung điểm của AC

=> AK = KC 

Từ \(\Delta BAK\)và \(\Delta BKC\), TA CÓ:

BK:  cạnh chung 

AK = KC 

AB = BC

\(\Rightarrow\Delta BAK=\Delta BKC\)( C.C.C ) 

B , Ta có : \(\widehat{AKB}\)VÀ \(\widehat{CKB}\)KỀ BÙ 

Mà \(\widehat{BKA}\)\(=BKC\)

=> BK \(\perp\)AC

c , tự làm

Mình có hình cho câu a) thôi nha.

a) Xét 2 \(\Delta\) \(BEA\) và \(BEM\) có:

\(BA=BM\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{MBE}\) (vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

Cạnh BE chung

=> \(\Delta BEA=\Delta BEM\left(c-g-c\right).\)

b) Theo câu a) ta có \(\Delta BEA=\Delta BEM.\)

=> \(EA=EM\) (2 cạnh tương ứng).

=> E thuộc đường trung trực của \(AM\) (1).

Vì \(BA=BM\left(gt\right)\)

=> B thuộc đường trung trực của \(AM\) (2).

Từ (1) và (2) => \(BE\) là đường trung trực của \(AM.\)

Ta có: \(\widehat{ABE}=\widehat{MBE}\) (vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

=> \(\widehat{ABN}=\widehat{MBN}.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(ABN\) và \(MBN\) có:

\(AB=MB\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABN}=\widehat{MBN}\left(cmt\right)\)

Cạnh BN chung

=> \(\Delta ABN=\Delta MBN\left(c-g-c\right)\)

=> \(AN=MN\) (2 cạnh tương ứng).

=> N là trung điểm của \(AM.\)

Chúc bạn học tốt!