Cho \(\Delta\)ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp (O), có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AD của (O). Qua H vẽ đường thẳng d \(\perp\) AD tại K, d cắt AB, AC và BC lần lượt tại M, N và S.

a) Cm: Năm điểm A, E, H, K và F cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này

b) Cm: SM.SN = SB.SC

c) Cm: SI \(\perp\) OI

Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A. Gọi O,D lần lượt là trung điểm của BC và AC

a/CM \(\Delta ABC~\Delta DOC\)(đã làm)

b/Đường thẳng vuông góc với OA tại A cắt OD tại H. CM OA²=OD.OH(đã làm)

c/Cho E là điểm di động trên đoạn thẳng AC. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng OE tại F. CM 4OE+OF\(\ge\)2.BC

Cho \(\Delta\)ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi K là trung điểm của AH. Từ A hạ đường vuông góc với AB và AC tại D và E. Đường tròn tâm K bán kính AK cắt đường tròn tâm O đường kính BC tại I, AI cắt BC tại M.

a) CM 5 điểm A,I,D,H,E thuộc một đường tròn

b) CM: MK \(\perp\)AO

c) CM : 4 điểm M, D, K, E thẳng hàng

d) CM : MD.ME = \(^{MH^2}\)

Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A (AB<AC), AB = 6cm, AC = 8cm, vẽ đường cao AH. Từ H vẽ HE và HD lần lượt vuông góc với AB và AC. Từ B vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại G. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BH và CH. Vẽ trung tuyến AM của \(\Delta ABC\)cắt ED tại I. C/m: \(\sqrt[3]{BE^2}\)+ \(\sqrt[3]{CD^2}\)= \(\sqrt[3]{BC^2}\).

Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat{BDC}=90^o\), đường phân giác \(\widehat{BAD}\)cắt cạnh BC và đường thẳng CD lần lượt tại E và F. Gọi O và O' lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD,\Delta CEF\)

1. CM điểm O' thuộc (O)

2. Khi \(DE\perp BC\)

a) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại G. CM BG.CE=BE.CG

b) (O) và (O') cắt nhau tại H(H khác C). Kẻ tiếp tuyến chung IK với I\(\in\)(O), K\(\in\)(O')  và 3 điểm I,H,K nằm cùng phía bờ OO'. Dựng hình bình hành CIMK. CM OB+O'C>HM

Cho tam giác ABC có ba góc đèu nhọn , các đường BD và CE cắt nhau tại H . Gọi M,N,K lần lượt là trung điểm của AH,ED,BC: 
a) CM : M,N,K thẳng hàng 
b) Tính số đo góc MDN 
c) AH cắt BC tại F . Kí hiệu S là diện tích . CM : \(\frac{S\Delta AED}{S\Delta ABC}=cos^2A\), \(\frac{SBDEC}{S\Delta ABC}=sin^2A\),\(\frac{S\Delta EDF}{S\Delta ABC}=1-cos^2A-cos^2B-cos^2C\)

d)CM : \(cos^2A+cos^2B+cos^2C< 1\), \(2< sin^2A+sin^2B+sin^2C< 3\)