1> Cho \(\Delta ABC\)cân tại A với 2 đường cao AH và BK

a, CM: \(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}\)

b, CM: \(BC^2=2CK.AC\)

2> Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A có AH là đường cao. Biết chu vi \(\Delta ABH=30cm\)và chu vi \(\Delta ABC=10cm\). Tính chu vi \(\Delta ABC\)

3> Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI cắt  tia CB tại K. Kẻ đương thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. CMR:

a, \(\Delta DIL\)là tam giác cân

b, Tổng \(\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\)không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Cho\(\Delta\)ABC cân tại A. Trung tuyến BM. Trên tia BM lấy G và K sao cho BG=\(\frac{2}{3}\)BM và G là trung điểm của BK. Từ G kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC và KC lần lượt tại O và N. C/m:

1, CO=2 OM

2, GO=\(\frac{1}{3}\)BC

3, Cho góc GBC=30 độ, CK =\(2\sqrt{3}\). Tính diện tích \(\Delta\)ABC

Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HPC\) ( P \(\ne\) B, C, H ) và nằm trong \(\Delta ABC\). Đường thẳng PB cắt đương tròn (O) tại M \(\ne\) B , Đường thẳng PC cắt đương tròn (O) tại N \(\ne\) C . Đường thẳng BM cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng CN cắt đường thẳng AB tại F. Đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AME\) và đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ANF\) tại giao điểm thứ 2 là Q.

1. CMR M, N, Q thẳng hàng

2. Giả sử AP là phân giác góc MAN. Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC

cho \(\widehat{xAy}\)trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB=2R .Gọi M là điểm thay đổi trên tia Ay .Kẻ phân giác  \(\widehat{ABM}\)cắt Ay tại E .Đường tròn tâm I đường kính AB cắt BM tại C và cắt BE tại D

a, Chứng minh \(\widehat{CAD}=\widehat{ABD}\)

b,gọi K là giao điểm của đường thẳng ID và AM Chứng minh \(CK=\frac{1}{2}AM\)

c, tính giá trị lớn nhất chủa chu vi \(\Delta ABC\)theo R

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn \(\left(O\right)\). Gọi E là điểm nằm chính giữa cung nhỏ BC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho \(EM=EC\), đường thẳng BM cắt \(\left(O\right)\) tại N \(\left(N\ne B\right)\). Các đường thẳng EA, EN cắt đường thẳng BC lần lượt tại D, F.

a, Chứng minh \(\Delta AEN\sim\Delta FED\)

b, Chứng minh M là trực tâm của \(\Delta AEN\)

c, Gọi I là trung điểm AN, tia IM cắt \(\left(O\right)\) tại K. Chứng minh dường thẳng CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BMK\)

Cho \(\Delta ABC\)nhọn. Một đường tròn đi qua B,C cắt AB,AC theo thứ tự tại E và F. Gọi giao điểm của BF và CE là D. Vẽ hình bình hành DBKC.

a) CMR \(\Delta KBC\)~  \(\Delta DỀF\), \(\Delta AKC~\Delta ADE\)

b) Kẻ DM \(\perp\)AB \(\left(M\in AB\right),DN\perp AC\left(N\in AC\right)\).CMR \(MN\perp AK\) 

c) Gọi I là trung điểm của AD và J là trung điểm của MN. CMR đường thẳng Ị đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC

Cho \(\Delta ABC\)cân tại\(A.\)Tia phân giác \(Ax\)của\(\widehat{BAC}\)cắt \(BC\)tại \(H.\)Trên cạnh\(AB\)lấy điểm \(M\), trên tia đối của tia \(CA\)lấy điểm \(N\)sao cho \(BM=CN\)

a) Nối \(MN\)cắt \(BC\)tại \(I,\)chứng minh \(I\)là trung điểm của \(MN\)

b) Trung trực của \(MN \)cắt \(Ax\)tại \(O,\)chứng minh \(OC\perp AC\)

c) Chứng minh:\(\frac{4}{BC^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BO^2}\)

d) Biết \(AB=6cm,OB=4,5cm,\)Tính \(S\Delta ABC\)