Cho \(\Delta ABC\)nhọn. Một đường tròn đi qua B,C cắt AB,AC theo thứ tự tại E và F. Gọi giao điểm của BF và CE là D. Vẽ hình bình hành DBKC.

a) CMR \(\Delta KBC\)~  \(\Delta DỀF\), \(\Delta AKC~\Delta ADE\)

b) Kẻ DM \(\perp\)AB \(\left(M\in AB\right),DN\perp AC\left(N\in AC\right)\).CMR \(MN\perp AK\) 

c) Gọi I là trung điểm của AD và J là trung điểm của MN. CMR đường thẳng Ị đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC

Cho \(\Delta\)ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp (O), có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AD của (O). Qua H vẽ đường thẳng d \(\perp\) AD tại K, d cắt AB, AC và BC lần lượt tại M, N và S.

a) Cm: Năm điểm A, E, H, K và F cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này

b) Cm: SM.SN = SB.SC

c) Cm: SI \(\perp\) OI

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC). M là trung điểm của cạnh BC. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Các đường cao AD; BE; CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt EF tại X.
a) Gọi giao điểm của OA và È là Y. Chứng minh \(OA\perp EF\)và\(\frac{EF}{FY}=\frac{BC}{CD}\)

b) Chứng minh tứ giác EXBM nội tiếp và \(XM\perp AB\)

c)Khi \(BC=R\sqrt{3}\). Chứng minh AE.FH+HE.FA=MO.BC

Cho ΔABC vuông tại A có đường cao AH

a, CMR : BC = AH . cot_B + AH . cot_C

b, Kẻ HE ⊥ AB

CMR : BE = BC . cos³_B

c, Kẻ HF ⊥ AC

CMR : ΔAEF ~ ΔACB

d, CMR : \(\frac{BE}{CF}=\frac{AB^3}{AC^3}\)

e, \(\sqrt{\frac{BE}{AE}}=\frac{BH}{AH}\)

f, AH³ = BC . HE . HF

g, BE\(\sqrt{CH}\) + CF\(\sqrt{BH}\)= AH\(\sqrt{BC}\)

h, \(\sqrt[3]{BE^3}+\sqrt[3]{CF^3}=\sqrt[3]{BC^2}\)