K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VH
12 tháng 6 2019
c) ΔFNA~ΔFDC => \(\frac{S_{FNA}}{S_{FDC}}=\frac{AN^2}{DC^2}\) (1)
ΔAMC~ΔFDC => \(\frac{S_{AMC}}{S_{FDC}}=\frac{MC^2}{DC^2}\) (2)
Ta cũng có AN = DM (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có : \(S^2_{FDC}=\frac{S_{FNA}.S_{AMC}.CD^4}{MD^2.MC^2}=S_{FNA}.S_{AMC}.\frac{\left(MD+MC\right)^4}{MD^2.MC^2}\)
\(\ge16.S_{FNA}.S_{AMC}\) (Áp dụng BĐT Cauchy)
~ Học tốt nha bạn ~
A B C P M N
a) Xét \(\Delta ABC\)có:
\(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0\)(định lí).
\(\Rightarrow\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)=180^0-\widehat{ACB}\).
Xét \(\Delta PAB\)có:
\(\widehat{APB}+\widehat{PAB}+\widehat{ABP}=180^0\)(định lí).
\(\Rightarrow\widehat{APB}=180^0-\left(\widehat{PAB}+\widehat{ABP}\right)\).
\(\Rightarrow\widehat{APB}=180^0-\frac{\widehat{BAC}+\widehat{ABC}}{2}\).
\(\Rightarrow\widehat{APB}=180^0-\frac{180^0-\widehat{ACB}}{2}\).
\(\Rightarrow\widehat{APB}=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\)(điều phải chứng minh).
Ta lại có:
\(\widehat{AMP}=\widehat{MPC}+\widehat{MCP}\)(tính chất góc ngoài của \(\Delta MPC\)).
\(\Rightarrow\widehat{AMP}=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\).
Do đó \(\widehat{APB}=\widehat{AMP}\left(=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\right)\).
Xét \(\Delta MAP\)và \(\Delta PAB\)có:
\(\widehat{AMP}=\widehat{APB}\)(chứng minh trên).
\(\widehat{MAP}=\widehat{PAB}\)(giả thiết).
\(\Rightarrow\Delta MAP~\Delta PAB\left(g.g\right)\).
\(\Rightarrow\frac{AP}{AB}=\frac{AM}{AP}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow AB.AM=AP.AP=AP^2\)(điều phải chứng minh).
b) \(\Delta MAP~\Delta PAB\)(theo câu a)).
\(\Rightarrow\widehat{APM}=\widehat{ABP}\)(2 góc tương ứng).
\(\Rightarrow\widehat{APM}=\widehat{NBP}\)(vì \(\widehat{ABP}=\widehat{NBP}\)).
Xét \(\Delta CMN\)có: \(CP\)vừa là phân giác, đồng thời là đường cao ứng với cạnh \(MN\)).
\(\Rightarrow\Delta CMN\)cân tại \(C\).
\(\Rightarrow CM=CN\)(định nghĩa)
Và \(CD\)đồng thời là trung tuyến ứng với cạnh đáy \(MN\).
\(\Rightarrow PM=PN\).
Ta có: \(\widehat{BNP}=\widehat{NPC}+\widehat{NCP}\)(tính chất góc ngoài của \(\Delta PNC\)).
\(\Rightarrow\widehat{BNP}=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\).
Do đó \(\widehat{AMP}=\widehat{BNP}\left(=90^0+\frac{\widehat{ACB}}{2}\right)\).
Xét \(\Delta MAP\)và \(\Delta NPB\)có:
\(\widehat{AMP}=\widehat{PNB}\)(chứng minh trên).
\(\widehat{MPA}=\widehat{NBP}\)(chứng minh trên).
\(\Rightarrow\Delta MAP~\Delta NPB\left(g.g\right)\).
\(\Rightarrow\frac{AM}{PN}=\frac{PM}{BN}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow AM.BN=PM.PN\).
\(\Rightarrow AM.BN=PM.PM=PM^2\)(vì \(PM.PN\)).
Vì \(\Delta PMC\)vuông tại \(P\)(vì \(MN\perp BC\)) .
\(\Rightarrow PM^2+PC^2=MC^2\)(định lí Py-ta-go).
\(\Rightarrow PM^2=MC^2-PC^2\).
Do đó \(AM.BN=MC^2-PC^2\).
\(\Rightarrow AM.BN+PC^2=MC^2\)..
\(\Rightarrow AM.BN+AM.CM+PC^2=MC^2+AM.CM\).
\(\Rightarrow AM\left(BN+CM\right)+PC^2=CM\left(CM+AM\right)\).
\(\Rightarrow AM\left(BN+CN\right)+PC^2=CM.AC=CN.AC\)(vì \(CM=CN\)).
\(\Rightarrow AM.BC+PC^2=CN.AC\).
\(\Rightarrow AM.BC+BN.AC+PC^2=CN.AC+BN.AC\).
\(\Rightarrow AM.BC+BN.AC+PC^2=AC\left(CN+BN\right)\).
\(\Rightarrow AM.BC+BN.AC+PC^2=AC.BC\left(1\right)\)
Vì \(AC.BC>0\)nên:
\(\left(1\right)\Rightarrow\frac{AM.BC}{AC.BC}+\frac{BN.AC}{AC.BC}+\frac{PC^2}{AC.BC}=\frac{AC.BC}{AC.BC}\).
\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{PC^2}{AC.BC}=1\)(điều phải chứng minh).