a) Xét ΔABC vuông tại A có \(\widehat{ACB}=45^0\)(gt)

nên ΔABC vuông cân tại A(Định lí tam giác vuông cân)

Suy ra: AB=AC

mà AB=10cm(gt)

nên AC=10cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{2}{100}=\dfrac{1}{50}\)

\(\Leftrightarrow AH^2=50\)

hay \(AH=5\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Xét ΔABH vuông tại H có \(\widehat{B}=45^0\)(ΔABC vuông cân tại A)

nên ΔABH vuông cân tại H

Suy ra: BH=AH

mà \(AH=5\sqrt{2}\left(cm\right)\)(cmt)

nên \(BH=5\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{10\cdot10}{2}=50\left(cm^2\right)\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AE\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AF\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

sai rùi đề có phải là tam giác vuông đâu

a: Xét ΔABC có \(\hat{BAC}+\hat{ABC}+\hat{ACB}=180^0\)

=>\(\hat{ABC}=180^0-70^0-45^0=60^0\)

Xét ΔAHB vuông tại H có cos ABH=\(\frac{BH}{BA}\)

=>\(\frac{BH}{10}=cos60=\frac12\)

=>BH=5(cm)

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2=10^2-5^2=75\)

=>\(AH=5\sqrt3\) (cm)

Xét ΔAHC vuông tại H có sin C=\(\frac{AH}{AC}\)
=>\(\frac{5\sqrt3}{AC}=\sin45=\frac{\sqrt2}{2}\)

=>\(AC=5\sqrt3\cdot\frac{2}{\sqrt2}=5\sqrt6\) (cm)

ΔAHC vuông tại H có \(\hat{ACH}=45^0\)

nên ΔAHC vuông cân tại H

=>\(HC=HA=5\sqrt3\) (cm)

\(BC=BH+HC=5+5\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot5\sqrt3\left(5\sqrt3+5\right)=\frac12\left(75+25\sqrt3\right)=\frac{75+25\sqrt3}{2}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

a: Xét ΔABC có \(\hat{ABC}+\hat{ACB}+\hat{BAC}=180^0\)

=>\(\hat{ABC}=180^0-75^0-45^0=60^0\)

Xét ΔAHB vuông tại H có cos B=\(\frac{BH}{BA}\)

=>\(BH=BA\cdot cos60=10\cdot\frac12=5\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2=10^2-5^2=75\)

=>\(AH=5\sqrt3\) (cm)

Xét ΔAHC vuông tại H có sin C=\(\frac{AH}{AC}\)

=>\(AC=5\sqrt3:\sin45=5\sqrt3:\frac{1}{\sqrt2}=5\sqrt6\) (cm)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot10\cdot5\sqrt6\cdot\sin75=25\sqrt6\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\frac{25\cdot\sqrt3\cdot2\cdot\left(\sqrt3+1\right)}{4}=\frac{25\sqrt3\left(\sqrt3+1\right)}{2}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=12^2+16^2=144+256=400=20^2\)

=>BC=20(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot20=12\cdot16=192\)

=>AH=192/20=9,6(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>BH=12^2/20=144/20=7,2(cm)

BH+HC=BC

=>HC=20-7,2=12,8(cm)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

=>\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

Do đó: ΔAEF~ΔACB

a) Tam giác ABH vuông tại H, HE là đường cao

\(\Rightarrow AH^2=AE.AB\)(1)

Tam giác AHC vuông tại H, HF là đường cao

\(\Rightarrow AH^2=AF.AC\)(2)

từ (1) và (2) nên AE.AB=AF.AC(đpcm)

b) Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\)(3)

Tam giác BIC vuông tại B, BA là đường cao

\(\Rightarrow AB^2=IA.IC\) mà theo (3) thì \(BH.BC=IA.IC\left(\text{đ}pcm\right)\)

c) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

\(AH^2=BH.CH\Leftrightarrow AH^2=9.16=144\Leftrightarrow AH=12\)(cm)

BC=9+16=25(cm)

Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao

\(AB^2=BH.BC=9.25=225\Leftrightarrow AB=15\)

\(AC^2=CH.BC=16.25=400\Leftrightarrow AC=20\)

Tam giác ABC có AD là phân giác

\(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}\Leftrightarrow\frac{15}{20}=\frac{BD}{CD}\Leftrightarrow\frac{15}{BD}=\frac{20}{CD}=\frac{15+20}{BD+CD}=\frac{35}{25}=\frac{7}{5}\)

\(\Leftrightarrow BD=\frac{15.5}{7}=\frac{75}{7}\)\(\Leftrightarrow DH=BD-BH=\frac{75}{7}-9=\frac{12}{7}\)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AHD:

\(AD^2=DH^2+AH^2=\frac{144}{49}+144=\frac{7200}{49}\Rightarrow AD=\frac{60\sqrt{2}}{7}\)

d) Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao

\(AB^2=BH.BC\);\(AC^2=CH.BC\)

\(\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{HB.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}\left(\text{đ}pcm\right)\)

Còn câu e chờ mình xíu

c) Ta sẽ chứng minh bổ đề sau để dễ dàng tính: Cho \(\Delta\)ABC vuông tại A đường phân giác AD. Chứng minh: \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\)

C/m: Tự kẻ hình nha .Kẻ DH // AB => DH vuông góc AC. Vì \(\Delta\)ADH vuông tại H có góc DAH=90 nên \(\Delta\)ADH vuông cân tại H

=> \(AD=\sqrt{2}DH\Rightarrow DH=\left(\frac{AD}{\sqrt{2}}\right)\)

Ta có DH // AB => \(\frac{DH}{AB}=\frac{HC}{AC}=\frac{AC-AH}{AC}\) vì (HC=AC-AH)

mình chịu thoiii

Gì nhiều vậy???