a) Để tính các số hạng u1, u2, u3, u4 của dãy (un), ta thay n = 1, 2, 3, 4 vào công thức un = n^2 - 1:

u1 = 1^2 - 1 = 0 u2 = 2^2 - 1 = 3 u3 = 3^2 - 1 = 8 u4 = 4^2 - 1 = 15

Vậy u1 = 0, u2 = 3, u3 = 8, u4 = 15.

b) Để tìm số hạng thứ mấy trong dãy có giá trị 99, ta giải phương trình n^2 - 1 = 99:

n^2 - 1 = 99 n^2 = 100 n = 10 hoặc n = -10

Vì số hạng của dãy phải là số tự nhiên nên ta chọn n = 10. Vậy số hạng thứ mấy có giá trị 99 là u10.

u1 = (21 - 1)/(1 + 1) = 1/2 u2 = (22 - 1)/(2 + 1) = 3/3 = 1 u3 = (23 - 1)/(3 + 1) = 5/4 u4 = (24 - 1)/(4 + 1) = 7/5

Vậy u1 = 1/2, u2 = 1, u3 = 5/4, u4 = 7/5.

b) Để tìm số hạng thứ mấy trong dãy có giá trị 137137, ta giải phương trình (2n - 1)/(n + 1) = 137137:

(2n - 1)/(n + 1) = 137137 2n - 1 = 137137(n + 1) 2n - 1 = 137137n + 137137 137135n = 137138 n = 1

Vậy số hạng thứ mấy có giá trị 137137 là u1.

Đáp án A

\(u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{2}{3}\Rightarrow u_{n+1}-2=\dfrac{2}{3}\left(u_n-2\right)\)

Đặt \(u_n-2=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-2=1\\v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(q=\dfrac{2}{3}\Rightarrow v_n=1.\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\)

\(\Rightarrow u_n=v_n+2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}+2\)

Chọn B.

- Ta có,  u 1   =   5  và  u n + 1   =   3   +   u n  nên dãy số là cấp số cộng với công sai d = 3, số hạng đầu u 1   =   5 .

- Do đó số hạng tổng quát của dãy số này là:

Ta có: \(u_{n+1} - u_n - 2 + 8u_{n+1} - 2\sqrt{4u_n + 1} = 0\)

=>\(9u_{n+1} - u_n - 2 - 2\sqrt{4u_n + 1} = 0\)

=>\(9u_{n+1} = u_n + 2 + 2\sqrt{4u_n + 1}\) (1)

Đặt \(x_{n}=\sqrt{4u_n + 1}\left(x_{n}\ge0\right)\) , khi đó ta có:

\(4u_{n}=x_{n}^2-1\)

=>\(u_{n}=\frac{x_n^2 - 1}{4}\)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có: \(u_{n+1} = \frac{x_{n+1}^2 - 1}{4}\)

(1) sẽ trở thành: \(9\left(\frac{x_{n+1}^2 - 1}{4}\right) = \frac{x_n^2 - 1}{4} + 2 + 2x_n\)

=>\(9(x_{n+1}^2 - 1) = x_n^2 - 1 + 8 + 8x_n\)

=>\(9x_{n+1}^2 - 9 = x_n^2 + 8x_n + 7\)

=>\(9x_{n+1}^2 = x_n^2 + 8x_n + 16\)

=>\(9x_{n+1}^2 = (x_n + 4)^2\)

=>\(3x_{n+1}=x_{n}+4\)

=>\(x_{n+1}=\frac{1}{3}x_{n}+\frac{4}{3}\)

\(x_1=\sqrt{4u_1 + 1}=\sqrt{4\cdot2+1}=\sqrt{9}=3\)

Đặt \(a=\frac13a+\frac43\)

=>\(\frac23a=\frac43\)

=>a=2

Đặt dãy số phụ \(y_n = x_n - 2\) , ta sẽ có:

\(y_{n+1}=x_{n+1}-2\)

\(=\left(\frac{1}{3}x_{n}+\frac{4}{3}\right)-2\)

\(=\frac{1}{3}x_{n}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}(x_{n}-2)=\frac{1}{3}y_{n}\)

Do đó: \(\left(y_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội là q=1/3; số hạng đầu là: \(y_1=x_1-2=3-2=1\)

Số hạng tổng quát của dãy số \(\left(y_{n}\right)\) là:

\(y_n = y_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{3^{n-1}}\)

Số hạng tổng quát của dãy số \(\left(x_{n}\right)\) là:

\(x_n = y_n + 2 = \frac{1}{3^{n-1}} + 2 = \frac{2 \cdot 3^{n-1} + 1}{3^{n-1}}\)

\(u_{n}=\frac{\left(2 + \frac{1}{3^{n-1}}\right)^2 - 1}{4}\)

\(=\frac{4 + \frac{4}{3^{n-1}} + \frac{1}{3^{2n-2}} - 1}{4}=\frac{3 + \frac{4}{3^{n-1}} + \frac{1}{3^{2n-2}}}{4}\)

\(=\frac{3 \cdot3^{2n-2} + 4 \cdot3^{n-1} + 1}{4 \cdot3^{2n-2}}\)

\(=\frac{3^{2n-1} + 4 \cdot3^{n-1} + 1}{4 \cdot3^{2n-2}}\)

a: Ta có: \(u_1 = \frac{1}{3}, \quad u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n(3n-1) + 1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\)

=>\(\frac{1}{u_{n+1}} = \frac{2u_n(3n-1) + 1}{2u_n} = (3n - 1) + \frac{1}{2u_n}\)

Đặt \(v_n = \frac{1}{u_n}\)

=>\(v_1=1:\frac13=3\)

Ta có công thức truy hồi sau: \(v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n + 3n - 1\)

a: \(v_2=\frac{1}{2}v_1+3\cdot1-1=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}\)

\(v_3=\frac{1}{2}v_2+3\cdot2-1=\frac{7}{4}+5=\frac{27}{4}\)

\(v_4=\frac{1}{2}v_3+3\cdot3-1=\frac{27}{8}+8=\frac{91}{8}\)

=>\(u_4=1:\frac{91}{8}=\frac{8}{91}\)

\(v_{n+1} + A(n+1) + B = \frac{1}{2}(v_n + An + B)\)

=>\(v_{n+1}=\frac{1}{2}v_{n}-\frac{A}{2}n-A-\frac{B}{2}\)

=>\(\begin{cases} -\frac{A}{2} = 3 \\ -A - \frac{B}{2} = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} A = -6 \\ B = 14 \end{cases}\)

Đặt \(w_n = v_n - 6n + 14\)

=>\(w_{n+1} = \frac{1}{2}w_n\)

=>(Wn) là cấp số nhân với \(w_1=v_1-6\cdot1+14=3-6+14=17-6=11\) và công bội là q=1/2

=>\(w_n = w_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 11 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

=>\(v_n = w_n + 6n - 14 = 11 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 6n - 14\)

=>\(u_n = \frac{1}{11 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 6n - 14}\)

Ta có: \(S = \frac{1}{u_1} + \frac{1}{u_2} + \dots + \frac{1}{u_n}\)

=>\(S=\sum_{k=1}^{n}v_{k}\)

\(=\sum_{k=1}^{n}\left[11\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}+6k-14\right]\)

\(S_1 = 11 \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = 11 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = 22 \left[ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right]\)

\(S_2 = 6 \sum_{k=1}^n k = 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 3n^2 + 3n\)

\(S_3 = \sum_{k=1}^n (-14) = -14n\)

Do đó: \(S=S_1+S_2+S_3\)

\(=22\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right]+3n^2+3n-14n\)

\(=3n^2-11n+22-22\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)

\(u_{n+1}=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{n+4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{3}{n+1}+\dfrac{2}{n+2}\right)\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}-\dfrac{3}{n+1+1}=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{3}{n+1}\right)\)

Đặt \(u_n-\dfrac{3}{n+1}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}\\v_{n+1}=\dfrac{3}{2}v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow v_n=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\)

\(\Rightarrow u_n=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}+\dfrac{3}{n+1}\)

Ta có: u 1 =11 = 10 + 1

          u 2 = 10.11 +1 – 9 =102 =100 +2= 10 2 +2

          u 3 =10.102 +1 – 9.2 = 1003 = 1000 + 3 = 10 3 + 3

Từ đó dự đoán u n = 10 n   +   n   (1).  Chứng minh:

Với n =1 ta có : u 1   =   10 1 + 1 = 11 (đúng).

Giả công thức (1) đúng với n = k, ta có u k   = 10 k   +   k    (2).

Ta phải chứng minh (1) đúng với n=k+1. Có nghĩa chứng minh u k + 1   = 10 k + 1   +   ( k + 1 ) .

 Thật vậy : u k + 1   = 10 .   ( 10 k   +   k )   +   1   –   9 k   =   10 k + 1   +   ( k + 1 )

Kết luận : u n   =   10 n   +   n .

Chọn đáp án B.

Đặt \(u_n=v_n+1\Rightarrow v_{n+1}+1=\dfrac{2017+v_n+1}{2019-\left(v_n+1\right)}=\dfrac{2018+v_n}{2018-v_n}\)

\(\Rightarrow v_{n+1}=\dfrac{2018+v_n}{2018-v_n}-1=\dfrac{2v_n}{2018-v_n}\Rightarrow\dfrac{1}{v_{n+1}}=1009\dfrac{1}{v_n}-\dfrac{1}{2}\)

Đặt \(\dfrac{1}{v_n}=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{1}{v_1}=\dfrac{1}{u_1-1}=1\\x_{n+1}=1009x_n-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_{n+1}-\dfrac{1}{2016}=1009\left(x_n-\dfrac{1}{2016}\right)\)

\(\Rightarrow x_n-\dfrac{1}{2016}\) là CSN với công bội 1009 \(\Rightarrow x_n-\dfrac{1}{2016}=\dfrac{2015}{2016}.1009^{n-1}\)

\(\Rightarrow x_n=\dfrac{2015}{2016}1009^{n-1}+\dfrac{1}{2016}\) 

\(\Rightarrow u_n=v_n+1=\dfrac{1}{x_n}+1=\dfrac{2016}{2015.1009^{n-1}+1}+1\)

\(\Rightarrow\lim\left(u_n\right)=1\)