Dãy số đã cho hiển nhiên là dãy dương

\(u_3=2>1\Rightarrow\) dự đoán dãy trên là dãy tăng hay \(u_{n+1}>u_n\) \(\forall n\ge2\)

Với \(n=2\) ta có \(u_3>u_2\) (đúng)

Giả thiết cũng đúng với \(n=k\) hay \(u_{k+1}>u_k\)

Ta cần chứng minh \(u_{k+1}>u_{k+1}\)

Thật vậy, \(u_{k+2}=\sqrt{u_{k+1}}+\sqrt{u_k}>\sqrt{u_k}+\sqrt{u_{k-1}}=u_{k+1}\)

Mặt khác \(u_n=\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_{n-2}}< \sqrt{u_n}+\sqrt{u_n}=2\sqrt{u_n}\)

\(\Rightarrow u_n^2< 4u_n\Rightarrow u_n< 4\)

\(\Rightarrow\) Dãy số tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn

Gọi giới hạn của dãy số là \(a\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(u_{n-1}\right)=lim\left(u_{n+1}\right)=a\)

Từ biểu thức: \(u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}}\)

Lấy giới hạn 2 vế: \(\Rightarrow a=\sqrt{a}+\sqrt{a}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(l\right)\\a=4\end{matrix}\right.\)

Vậy \(lim\left(u_n\right)=4\)

ta có : \(u_n=\frac{1+2^m}{2^m}\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(\frac{1+2^m}{2^m}\right)=lim\left(1+\frac{1}{2^m}\right)=1\)

\(u_1=\sqrt{3}=tan\frac{\pi}{3}\)

Mặt khác \(tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\Rightarrow u_{n+1}=\frac{u_n+tan\frac{\pi}{8}}{1-u_n.tan\frac{\pi}{8}}\)

Nhìn công thức \(u_{n+1}\) có dạng \(tan\left(a+b\right)\) nên ta thay thử vài giá trị tìm quy luật

\(u_2=\frac{u_1+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\frac{\pi}{8}.u_1}=\frac{tan\frac{\pi}{3}+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\frac{\pi}{8}.tan\frac{\pi}{3}}=tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}\right)\)

\(u_3=\frac{tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}\right)+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}\right).tan\frac{\pi}{8}}=tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right)=tan\left(\frac{\pi}{3}+2.\frac{\pi}{8}\right)\)

Dự đoán số hạng tổng quát có dạng: \(u_n=tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(n-1\right)\frac{\pi}{8}\right)\)

Giả sử công thức đúng với \(n=k\) hay \(u_k=tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}\right)\)

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(u_{k+1}=tan\left(\frac{\pi}{3}+k\frac{\pi}{8}\right)\)(các số hạng đầu đã kiểm tra nên chứng minh quy nạp chắc khỏi cần kiểm tra lại)

Thật vậy, với \(n=k+1\) ta có:

\(u_{k+1}=\frac{u_k+tan\frac{\pi}{8}}{1-u_k.tan\frac{\pi}{8}}=\frac{tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}\right)+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\frac{\pi}{8}.tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}\right)}\)

\(=tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right)=tan\left(\frac{\pi}{3}+k\frac{\pi}{8}\right)\) (đpcm)

\(u_n^2+2011=2u_n.u_{n+1}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{u_n^2+2011}{2u_n}\)

Ta có \(u_1>0\), giả sử \(u_k>0\Rightarrow u_{k+1}=\frac{u_k^2+2011}{2u_k}>0\)

\(\Rightarrow\) Dãy đã cho là dãy dương

Mặt khác \(u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2011}{u_n}\right)\ge\frac{1}{2}.2\sqrt{2011}=\sqrt{2011}\)

\(\Rightarrow u_n\ge2011\) \(\forall n\ge1\Rightarrow\) dãy đã cho bị chặn dưới

Xét \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{u_n^2+2011}{2u^2_n}=\frac{1}{2}+\frac{2011}{2u_n^2}\le\frac{1}{2}+\frac{2011}{2.2011}=1\) (do \(u_n\ge\sqrt{2011}\))

\(\Rightarrow u_{n+1}\le u_n\) \(\Rightarrow\) dãy đã cho là dãy giảm

Dãy giảm, bị chặn dưới \(\Rightarrow\) dãy có giới hạn

Gọi giới hạn của dãy là \(a\Rightarrow\sqrt{2011}\le a\le u_1\)

\(\Rightarrow a^2-2a^2+2011=0\)

\(\Rightarrow a^2=2011\Rightarrow a=\sqrt{2011}\)

\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=\sqrt{2011}\)

Đề bài sai.

Với \(\left[{}\begin{matrix}u_1>2+\sqrt{2}\\u_1< -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) thì dãy không có giới hạn (tiến tới âm vô cực)

\(u_3=u_2^2-u_2+2=4\)

\(S_1=1=\left(2-1\right)^2=\left(u_2-1\right)^2\)

\(S_2=2.5-1=9=\left(4-1\right)^2=\left(u_3-1\right)^2\)

Dự đoán \(S_n=\left(u_{n+1}-1\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp:

- Với \(n=1;2\) đúng (đã kiểm chứng bên trên với \(S_1;S_2\))

- Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)

Hay \(S_k=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)-1=\left(u_{k+1}-1\right)^2\)

Ta cần chứng minh:

\(S_{k+1}=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1=\left(u_{k+2}-1\right)^2\)

Thật vậy:

\(S_{k+1}=\left[\left(u_{k+1}-1\right)^2+1\right]\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)

\(=\left(u_{k+1}^2-2u_{k+1}+2\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)

\(=\left(u_{k+2}-u_{k+1}\right)\left(u_{k+2}+u_{k+1}-1\right)-1\)

\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}-u_{k+1}^2+u_{k+1}-1\)

\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}+2-u_{k+2}-1\)

\(=\left(u_{k+2}-1\right)^2\) (đpcm)

e cảm ơn ạ