Ta có đẳng thức $\frac{\sqrt[3]{a.a^{\frac{33}{5}}}}{a^3}=a^{\alpha }$ với $0\le a\ne 1$. Khi đó $\alpha$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình $2x+2y+z-3=0$.Biết rằng tồn tại duy nhất điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng  $\left(\alpha \right)$ sao cho MA = MB = MC. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  $\left(P\right):2x-y+2z+2=0$ và điểm A(1;-2;0). Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ song song với (P) và cách A một khoảng bằng 2 có dạng $2x+ay+bz+c=0$. Khi đó, tổng a + b + c bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-3;11;-1), C(4;m-1;0), D(1;m+2;0). Điểm  M(a;b;c) thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right): 2x-y+2z+7=0$ sao cho biểu thức   $P=\left|3\overline{MA}+5\overline{MB}-7\overline{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a+b+c

Cho đường thẩng (d): 2x+y-1=0 và điểm A(0; -2), B(2; 3).

1) Lập phương trình đường thẳng d₁ đi qua A và song song với d.

2) Lập phương trình đường thẳng d₂ đi qua B và vuông góc với d. Từ đó tìm tọa độ hình chiếu H của B trên d.

3) Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến d bằng \(2√5 \).

4) Tìm điểm N thuộc d sao cho khoảng cách từ N đến A bằng 5.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-5}{2}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-12}{-1}$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right): x+2y -3z-3=0$. Gọi M là giao điểm của d với $\left(\alpha \right)$, A thuộc d sao cho $AM=\sqrt{14}$. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left(\alpha \right)$   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(-2;1;0\right)$, $B\left(4;4;-3\right)$, $C\left(2;3;-2\right)$ và đường thẳng $\left(d\right): \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{-1}$. Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $\left(d\right)$ sao cho A, B, C ở cùng phía đối với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Gọi $d_{1, }{d}_2, d_3$ lần lượt là khoảng cách từ A, B, C đến $\left(\alpha \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của $T=d_1+2d_2+3d_3$.

Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz, cho điểm $A\left(3;-1;0\right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa d sao cho khoảng cách từ A đến  $\left(\alpha \right)$ lớn nhất có phương trình là