a: Ta có: \(\tan^2ABC+1=\frac{1}{cos^2ABC}\)

=>\(\frac{1}{cos^2ABC}=1+\left(\frac23\right)^2=1+\frac49=\frac{13}{9}\)

=>\(cos^2ABC=\frac{9}{13}\)

=>\(cosABC=\frac{3}{\sqrt{13}}\)

=>\(\sin ACB=\frac{3}{\sqrt{13}}\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(HC=\frac{2.4^2}{1,8}=3,2\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=2,4^2+3,2^2=16=4^2\)

=>AC=4(cm)

Xét ΔAHC có CK là phân giác

nên \(\frac{KH}{KA}=\frac{CH}{CA}=\frac{3.2}{4}=\frac45\)

=>\(\frac{KH}{4}=\frac{KA}{5}\)

mà KH+KA=AH=2,4cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{KH}{4}=\frac{KA}{5}=\frac{KH+KA}{4+5}=\frac{2.4}{9}=\frac{24}{90}=\frac{4}{15}\)

=>\(KH=\frac{4}{15}\cdot4=\frac{16}{15}\left(\operatorname{cm}\right);KA=\frac{4}{15}\cdot5=\frac43\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔCHK vuông tại H

=>\(CH^2+HK^2=CK^2\)

=>\(CK^2=3,2^2+\left(\frac{16}{15}\right)^2=\left(\frac{16}{5}\right)^2+\left(\frac{16}{15}\right)^2=256\left(\frac{1}{25}+\frac{1}{225}\right)\)

\(=256\cdot\frac{10}{225}=10\cdot\left(\frac{16}{15}\right)^2\)

=>\(CK=\frac{16}{15}\sqrt{10}\) (cm)

1)

a) trong tam giac ABC vuong tai A co 

+)BC²=AB²+AC²

suy ra AC=12cm

+)AH.BC=AB.AC

suy ra AH=7,2cm

b) Trong tu giac AMHN co HMA=HNA=BAC=90 do suy ra AMHN la hcn suy ra AH=MN=7,2cm

suy ra MN=7,2cm

c) goi O la giao diem cu MN va AH 

Vi AMHN la hcn (cmt) nen OA=OH=7,2/2=3,6cm

suy ra S_BMCN=1/2[OH*(MN+BC)]=39,96cm²
d) Vi AMHN la hcn nen goc AMN=goc HAB 

Trong tam giac ABC vuong tai A co AK la dg trung tuyen ung voi canh huyen BC nen AK=BK=KC

suy ra tam giac AKB can tai K

suy ra goc B= goc BAK

Ta co goc B+ goc BAH=90 do 
tuong duong BAK+AMN=90 do suy ra AK vuong goc voi MN (dmcm)

bai 2 sai de ban oi sinx hay cosx chu ko phai sin hay cos

2: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(BH\cdot BC=AB^2\left(1\right)\)

Xét ΔBDC vuông tại B có BA là đường cao ứng với cạnh huyền DC

nên \(AD\cdot AC=AB^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\cdot BC=AD\cdot AC\)

1: Sửa đề: \(AH=\frac{4}{\sqrt3}\left(\operatorname{cm}\right)\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(HC\cdot4=\left(\frac{4}{\sqrt3}\right)^2=\frac{16}{3}\)

=>HC=4/3(cm)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=\left(\frac43\right)^2+\left(\frac{4}{\sqrt3}\right)^2=\frac{16}{9}+\frac{16}{3}=\frac{16+16\cdot3}{9}=\frac{64}{9}\)

=>\(CA=\frac83\) (cm)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có tan ABH=\(\frac{AH}{HB}=\frac{4}{\sqrt3}:4=\frac{1}{\sqrt3}\)

nên \(\hat{ABH}=30^0\)

a)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
\(AB^2=BH.BC\Leftrightarrow BC=\dfrac{AB^2}{BH}=5\)(cm)

\(HC=BC-HB=5-1,8=3,2\)(cm)

\(HA^2=HB.HC\Leftrightarrow HA=\sqrt{HB.HC}=\sqrt{1,8.3,2}=2,4\)(cm)

\(AC^2=HC.BC\Leftrightarrow AC=\sqrt{HC.BC}=\sqrt{3,2.5}=4\) (cm)

Vậy...

b) Dễ cm được AIMK là hcn (vì tứ giác có 3 góc vuông)

\(\Rightarrow AM=IK\)

Do AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông ABC

\(\Rightarrow AM=\dfrac{BC}{2}=2,5\) (cm)

Vậy IK=2,5cm

a)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AH^2+HB^2=AB^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=3^2-1.8^2=5.76\)

hay AH=2,4(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HC=\dfrac{2.4^2}{1.8}=3.2\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔACH vuông tại H, ta được:

\(AC^2=AH^2+CH^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=2.4^2+3.2^2=16\)

hay AC=4(cm)