1) Chứng minh: $AD.HD = DB.CD$

Xét hai tam giác $ADB$ và $ADC$:

$\widehat{ADB} = \widehat{ADC} = 90^\circ$ và $\widehat{BAD} = \widehat{ACD}$ nên $\triangle ADB \sim \triangle CDA$

Suy ra: $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{DB}{AD}$

Nhân chéo: $AD^2 = DB.CD$

Mà: $H \in AD$ nên: $AD.HD = DB.CD$

2) Chứng minh:

$\triangle AEF \sim \triangle ABC$

Ta có: $\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^\circ$

Suy ra tứ giác $BFEC$ nội tiếp.

Do đó:

$\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$,

$\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$

Suy ra: $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ (g.g).

1: Xét ΔDCH vuông tại D và ΔDAB vuông tại D có

\(\widehat{DCH}=\widehat{DAB}\)

Do đó:ΔDCH đồng dạng với ΔDAB

=>\(\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{DH}{DB}\)

=>\(DC\cdot DB=DA\cdot DH\)

2: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB đồng dạng với ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔABC

3)

Gọi $I = EF \cap AD$.

Từ $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ suy ra các tỉ số: $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$.

Mặt khác, do các cặp góc bằng nhau suy ra: $\triangle AIH \sim \triangle ADH$.

=> $\dfrac{AI}{IH} = \dfrac{AD}{HD}$.

Nhân chéo: $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.

SΔABC chứ!!!

Tính ΔABC nha!!!

1: Xét ΔDAC vuông tại D và ΔDBH vuông tại D có

\(\widehat{DAC}=\widehat{DBH}\left(=90^0-\widehat{ECB}\right)\)

Do đó: ΔDAC\(\sim\)ΔDBH

Suy ra: DA/DB=DC/DH

hay \(DA\cdot DH=DB\cdot DC\)

2: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

góc BAE chung

DO đó: ΔABE\(\sim\)ΔACF

Suy ra: AE/AF=AB/AC

hay AE/AB=AF/AC

Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC

a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có 

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔACF

Suy ra: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)

hay \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có 

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC

da