a) Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

hay CH=BC-BH=25-9=16(cm)

Áp dụng định lí pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=12^2+9^2=225\)

\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{225}=15cm\)

Áp dụng định lí pytago vào ΔAHC vuông tại H, ta được:

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=12^2+16^2=400\)

hay \(AC=\sqrt{400}=20cm\)

Ta có: \(AB^2+AC^2=15^2+20^2=625cm\)

\(BC^2=25^2=625cm\)

Do đó: \(BC^2=AB^2+AC^2\)(=625)

Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)(cmt)

nên ΔABC vuông tại A(định lí pytago đảo)

b) Xét ΔAHC vuông tại H và ΔDHB vuông tại H có

\(\widehat{CAH}=\widehat{BDH}\)(hai góc so le trong, AC//DB)

Do đó: ΔAHC∼ΔDHB(g-g)

⇒\(\frac{AH}{DH}=\frac{HC}{HB}\)

⇒\(\frac{12}{DH}=\frac{16}{9}\)

⇒\(DH=\frac{12\cdot9}{16}=\frac{108}{16}=6,75cm\)

Vậy: DH=6,75cm

Ta có: AC//BD(gt)

AC⊥AB(ΔABC vuông tại A)

Do đó: AB⊥BD(định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔABD vuông tại B và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{BAD}=\widehat{ACB}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

Do đó: ΔABD∼ΔCAB(g-g)

⇒\(\frac{AB}{CA}=\frac{BD}{AB}\)

hay \(AB^2=AC\cdot BD\)(đpcm)

a: BC=BH+CH=3,6+6,4=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=3,6\cdot6,4=4,8^2\)

=>AH=4,8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC=3,6\cdot10=36=6^2\)

=>BA=6(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>AC=8(cm)

Xét ΔHAC vuông tại H có sin HAC=\(\frac{HC}{AC}=\frac{6.4}{8}=\frac45\)

nên \(\hat{HAC}\) ≃53 độ

b: Ta có; BK//AC

AC⊥ AB

Do đó: BK⊥BA

=>ΔABK vuông tại B

Xét ΔBAK vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AK=AB^2\)

=>\(AH\cdot AK=BH\cdot BC\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AB^2=BH*BC

=>BH(BH+3,2)=9

=>BH=1,8cm

BC=3,2+1,8=5cm

\(AC=\sqrt{3.2\cdot5}=4\left(cm\right)\)

b: \(BD\cdot CE\cdot BC\)

\(=\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{HC^2}{AC}\cdot BC\)

\(=AH^3=DE^3\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\BH\cdot BC=AB^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{9\cdot12}{15}=7.2\left(cm\right)\\BH=\dfrac{9^2}{15}=5.4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b:

ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(HD\cdot AB=HA\cdot HB\)

ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(HE\cdot AC=HA\cdot HC\)

 \(HD\cdot AB+HE\cdot AC\)

\(=HA\cdot HB+HA\cdot HC=HA\cdot\left(HB+HC\right)\)

\(=HA\cdot BC=AB\cdot AC\)

c: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến

nên AM=MB=MC

\(\widehat{IEA}+\widehat{IAE}=\widehat{DEA}+\widehat{IAC}\)

\(=\widehat{DHA}+\widehat{MCA}\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>AM vuông góc DE tại I

ΔADE vuông tại A có AI là đường cao

nên \(\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AD^2}\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có cos ABC=\(\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{6}{BC}=\frac35=\frac{6}{10}\)

=>BC=10(cm)

ΔBAC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>AC=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH=\frac{6^2}{10}=3,6\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

c: \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Do đó: ΔADE~ΔACB

=>\(\hat{AED}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên IA=IC

=>ΔIAC cân tại I

=>\(\hat{IAC}=\hat{ICA}\)

\(\hat{IAC}+\hat{AED}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AI⊥DE tại K

Xét ΔADE vuông tại A có AK là đường cao

nên \(\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{AK^2}\)