Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tham khảo:
Ta có: \(R=\dfrac{abc}{4S};r=\dfrac{S}{p}\)
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \(b=c\) và \(a=\sqrt{b^2+c^2}=b\sqrt{2}\)
Xét tỉ số:
\(\dfrac{R}{r}=\dfrac{abc.p}{4S^2}=\dfrac{abc.\dfrac{a+b+c}{2}}{4.\dfrac{1}{4}.\left(b.c\right)^2}=\dfrac{a\left(a+2b\right)}{2b^2}=\dfrac{2b^2\left(1+\sqrt{2}\right)}{2b^2}=1+\sqrt{2}\)
Ta có:
\(r^2+p^2+4Rr=\left(\dfrac{S}{p}\right)^2+p^2+\dfrac{abc}{S}.\dfrac{S}{p}\)
\(=\dfrac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}+p^2+\dfrac{abc}{p}\)
\(=\dfrac{p^3+\left(ab+bc+ac\right)p-p^2\left(a+b+c\right)-abc+p^3+abc}{p}\)
\(=ab+bc+ca\)
Do đó:
\(\dfrac{ab+bc+ca}{4R^2}=\dfrac{r^2+p^2+4Rr}{4R^2}\)
\(\Leftrightarrow sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA=\dfrac{r^2+p^2+4Rr}{4R^2}\)\(\left(đpcm\right)\)
bạn giải thích chi tiết đoạn này hộ mình được ko ạ
p^3+(ab+bc+ac)p−p^2(a+b+c)−abc+p^3+abc/p
=ab+bc+ca
Đặt BC=a
ΔABC đều
=>AB=BC=AC=a
Ta có: DC+DB=BC
=>2DB+BD=BC
=>BC=3BD
=>\(DB=\frac{BC}{3}=\frac{a}{3}\)
=>\(DC=2\cdot DB=\frac{2a}{3}\)
Xét ΔCDA có \(cosC=\frac{CA^2+CD^2-AD^2}{2\cdot CA\cdot CD}\)
=>\(\frac{a^2+\left(\frac{2a}{3}\right)^2-AD^2}{2\cdot a\cdot\frac23a}=cos60=\frac12\)
=>\(a^2+\frac49a^2-AD^2=\frac12\cdot\frac43a^2=\frac23a^2\)
=>\(AD^2=\frac{13}{9}a^2-\frac23a^2=\frac{13}{9}a^2-\frac69a^2=\frac79a^2\)
=>\(AD=\frac{a\sqrt7}{3}\)
Nửa chu vi của tam giác CDA là:
\(p=\frac12\left(AC+CD+AD\right)=\frac12\left(a+\frac{2a}{3}+\frac{a\sqrt7}{3}\right)=\frac12\cdot\frac{5a+a\sqrt7}{3}=\frac{5a+a\sqrt7}{6}\)
Diện tích tam giác CDA là:
\(S_{CDA}=\frac12\cdot CA\cdot CD\cdot\sin C=\frac12\cdot a\cdot\frac23a\cdot\sin60\)
\(=\frac13a^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{6}\)
Bán kính đường tròn nội tiếp ΔCDA là:
\(r=\frac{S_{CDA}}{p_{DAC}}=\frac{a^2\sqrt3}{6}:\frac{5a+a\sqrt7}{6}=\frac{a^2\sqrt3}{5a+a\sqrt7}=\frac{a\sqrt3}{5+\sqrt7}\)
Xét ΔCDA có \(\frac{AD}{\sin C}=2R\)
=>\(2R=\frac{a\sqrt7}{3}:\sin60=\frac{a\sqrt7}{3}:\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt7}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2a\sqrt7}{3\sqrt3}\)
=>\(R=\frac{a\sqrt7}{3\sqrt3}\)
\(\frac{R}{r}=\frac{a\sqrt7}{3\sqrt3}:\frac{a\sqrt3}{5+\sqrt7}=\frac{\sqrt7\left(5+\sqrt7\right)}{3\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{5\sqrt7+7}{9}\)