Cho tam giác ABC (AB<AC). Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với CA, AB lần lượt tại E, F. Gọi G, H là các điểm đối xứng cưa E, F qua I. Đường thẳng GH cắt IB, IC lần lượt tại P và Q; IB và IC lần lượt cắt EF tại K và L.

a, Chứng minh rằng tứ giác BKLC nội tiếp đường tròn

b, Chứng minh rằng I là trung điểm của BC

c, Giả sử B, C cố định, A thay đổi sao cho tỉ số AB/AC=k (không đổi). Chứng minh rằng đường trung trực của PQ luôn đi qua một điểm cố định.

cho tam giác ABC vuông tại C và BC<AC. gọi I là điểm trên AB sao cho IB<IA. Đường thẳng qua I vuông góc với AB cắt AC,BC lần lượt tại F và E. Gọi M là điểm đối xứng của B qua I.

1. Chứng minh \(\Delta IME\approx\Delta IFA\) VÀ \(IE.IF=IA.IB\)

2. đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE tại N. Chứng minh 3 điểm F,N,B thẳng hàng.

3. Cho AB cố định, C thay đổi sao cho \(\widehat{BCA}=90\) độ. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua 2 điểm cố định và tâm đường tròn này nằm trên đường thẳng cố định

GIÚP PHẦN 3 THÔI CX ĐC

Cho đường tròn (O) , đường kính AB , điểm M thuộc đường tròn , cung MA nhỏ hơn cung MB . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M . BN cắt đường tròn ở C . Gọi E là giao điểm của AC và BM .

  a, Chứng minh rằng  \(NE\perp AB\)

  b, Gọi F là điểm đối xứng với E qua M . Chứng minh FA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

  c, Cho \(EC=\frac{1}{3}AC\)Tính góc ABN

  d, Với kết quả của câu c, chứng minh rằng MF.MB không đổi ?

Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó \(\left(E\ne A,B\right)\).Đường phân giác của \(\widehat{AEB}\)cắt AB tại F và cắt (O) tại điểm thứ hai K.

a, CHứng minh rằng: \(\Delta KAF\omega\Delta KEA\)

b, Gọi I là giao điểm đường trung trực EF với OE. Chứng minh rằng (I,IE) tiếp xúc với (O) tại E và tiếp xusc với AV tại F

c, Chứng minh rằng MN // AB, trong đó M, N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE, BE với (I)

d, Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi \(\Delta KPQ\)theo R khi E chuyển động trên (O), với P là giao điểm NF và AK, Q là giao điểm MF và BK

Cho (O;R) đường kính AB và điểm  \(C\in O\) sao cho AC < AB. Tiếp tuyến tại C cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại E và F

a)Chứng minh tứ giác AECO nội tiếp

b)Gọi H là giao điểm của EO và AC. Chứng minh:\(^{OH.OE=R^2}\) 

c) BC cắt AE tại D, OD cắt AC tại I, tia DH cắt AB tại K. Gọi P là điểm đối xứng của H qua E. Chứng minh rằng: HCDP là hình chữ nhật và IK || AD

d)Gọi M là giao điểm của IK và EO. Chứng minh: ba điểm A, M, F thẳng hàng

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O') tại A. Dây AD của đường tròn (O') tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO', E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng :

a) \(AB\perp KB\)

b) Bốn điểm A, C, E, D nằm trên cùng một đường tròn 

(Đà Nẵng - 2020)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) lấy điểm D (không trùng với B và C). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từC đến AB (H thuộc AB) và E là giao điểm của CH với AD.

a) Chứng minh rằng tứ giác BDEH là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng $AB^2 = AE.AD + BH.BA$.

c) Đường thẳng qua E song song với AB, cắt BC tại F. Chứng minh rằng \(\widehat{CDF}=90^\circ\) và đường tròn ngoại tiếp tam giác OBD đi qua trung điểm của CF.

Cho đường tròn $(O; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $A$. Trên $d$ lấy điểm $H$ không trùng với điểm $A$ và $AH < R$. Qua $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $d$, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm $E$ và $B$ ($E$ nằm giữa $B$ và $H$).

a) Chứng minh \(\widehat{ABE}=\widehat{EAH}\)  và \(\Delta ABH\backsim\Delta AEH\).
b) Lấy điểm $C$ trên $d$ sao cho $H$ là trung điểm của đoạn $AC$, đường thẳng $CE$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh $AHEK$ là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí điểm $H$ để \(AB=R\sqrt{3}\).