Xét ΔBAC có AM là phân giác góc ngoài tại đỉnh A

nên \(\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}\) (2)

Gọi Ax là tia đối của tia AC

=>\(\hat{xAB}\) là góc ngoài tại đỉnh A của ΔABC

=>AM là phân giác của góc xAB

Ta có: NB//AM

=>\(\hat{ABM}=\hat{MAB}\) (hai góc so le trong) và \(\hat{xAM}=\hat{ANB}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{MAB}=\hat{xAM}\)

nên \(\hat{ABN}=\hat{ANB}\)

=>AB=AN(1)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{MB}{MC}=\frac{NA}{AC}\)

a: MN//AB

=>MD//AB

Xét tứ giác ABMD có

AD//MB

AB//MD

Do đó: ABMD là hình bình hành

b: ΔABC cân tại A

mà AM là đường phân giác

nên AM⊥BC

Ta có: ABMD là hình bình hành

=>AD//MB và AD=MB

AD//MB nên AD//MC

AD=MB

mà MB=MC

nên AD=MC

Xét tứ giác AMCD có

AD//CM

AD=CM

Do đó: AMCD là hình bình hành

Hình bình hành AMCD có \(\hat{AMC}=90^0\)

nên AMCD là hình chữ nhật

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=21^2+28^2=1225\)

hay BC=35(cm)

Vậy: BC=35cm

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔAHB\(\sim\)ΔCAB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AH}{CA}=\dfrac{AB}{CB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AH}{28}=\dfrac{21}{35}\)

hay AH=16,8(cm)

Vậy: BC=35cm; AH=16,8cm

a) Xét tứ giác AMHN có 

\(\widehat{NAM}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0,N\in AC,M\in AB\))

\(\widehat{AMH}=90^0\left(HM\perp AB\right)\)

\(\widehat{ANH}=90^0\left(HN\perp AC\right)\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

a: Ta có: AD//MK

=>\(\hat{AKE}=\hat{BAD}\) (hai góc đồng vị) và \(\hat{CAD}=\hat{AEK}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{BAD}=\hat{CAD}\) (AD là phân giác của góc BAC)

nên \(\hat{AKE}=\hat{AEK}\)

=>AE=AK

b: Xét ΔCAD có EM//AD
nên \(\frac{CE}{EA}=\frac{CM}{MD}\)

=>\(\frac{CE}{AK}=\frac{BM}{MD}\) (1)

Xét ΔBKM có DA//KM

nên \(\frac{BD}{DM}=\frac{BA}{AK}\)

=>\(\frac{BM}{MD}=\frac{BK}{AK}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{CE}{AK}=\frac{BK}{AK}\)

=>CE=BK

1: Xét ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

MB=MC

AB=AC

Do đó: ΔAMB=ΔAMC

=>\(\hat{AMB}=\hat{AMC}\)

mà \(\hat{AMB}+\hat{AMC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AMB}=\hat{AMC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>AM⊥BC tại M

2: Xét ΔNAD và ΔNCM có

\(\hat{NAD}=\hat{NCM}\) (hai góc so le trong, AD//CM)

NA=NC

\(\hat{AND}=\hat{CNM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNAD=ΔNCM

=>AD=CM

Xét tứ giác AMCD có

AD//CM

AD=CM

do đó: AMCD là hình bình hành

Hình bình hành AMCD có \(\hat{AMC}=90^0\)

nên AMCD là hình chữ nhật