a)Ta có 

BK=KC (GT)

AK=KD( Đối xứng)

suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành (1)

mà góc A = 90 độ (2)

từ 1 và 2 suy ra tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) ta có

BI=IA

EI=IK

suy ra tứ giác AKBE là hình bình hành (1)

ta lại có 

BC=AD ( tứ giác ABDC là hình chữ nhật)

mà BK=KC

      AK=KD

suy ra BK=AK (2)

Từ 1 và 2 suy ra tứ giác AKBE là hình thoi

c) ta có

BI=IA

BK=KC

suy ra IK là đường trung bình

suy ra IK//AC

          IK=1/2AC

mà IK=1/2EK

Suy ra EK//AC 

           EK=AC

Suy ra tứ giác  AKBE là hình bình hành

B A C D E K

a) Xét tứ giác AMIN có:

∠(MAN) = ∠(ANI) = ∠(IMA) = 90o

⇒ Tứ giác AMIN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông).

b) ΔABC vuông có AI là trung tuyến nên AI = IC = BC/2

do đó ΔAIC cân có đường cao IN đồng thời là đường trung tuyến

⇒ NA = NC.

Mặt khác ND = NI (t/c đối xứng) nên ADCI là hình bình hành

Lại có AC ⊥ ID (gt). Do đó ADCI là hình thoi.

c) Ta có: AB2 = BC2 – AC2 (định lí Py-ta-go)

= 252 – 202 ⇒ AB = √225 = 15 (cm)

Vậy SABC = (1/2).AB.AC = (1/2).15.20 = 150 (cm2)

d) Kẻ IH // BK ta có IH là đường trung bình của ΔBKC

⇒ H là trung điểm của CK hay KH = HC (1)

Xét ΔDIH có N là trung điểm của DI, NK // IH (BK // IH)

Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (2)

Từ (1) và (2) ⇒ DK = KH = HC ⇒ DK/DC= 1/3.

a: AI=5cm

b: Xét tứ giác AHIK có 

\(\widehat{AHI}=\widehat{AKI}=\widehat{KAH}=90^0\)

Do đó: AHIK là hình chữ nhật

a: AI=5cm

b: Xét tứ giác AHIK có 

\(\widehat{AHI}=\widehat{AKI}=\widehat{KAH}=90^0\)

Do đó: AHIK là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm chung của AD và BC

=>ABDC là hình bình hành

Hình bình hành ABDC có \(\hat{BAC}=90^0\)

nên ABDC là hình chữ nhật

b: A đối xứng I qua BC

=>BC là đường trung trực của AI

=>BC⊥AI tại H và H là trung điểm của AI

Xét ΔAID có

H,M lần lượt là trung điểm của AI,AD

=>HM là đường trung bình của ΔAID

=>HM//ID

=>ID//BC

=>BIDC là hình thang

C nằm trên đường trung trực của AI

=>CA=CI

mà CA=BD

nên BD=CI

Hình thang BIDC có BD=CI

nên BIDC là hình thang cân

a: Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét tứ giác AMBI có

D là trung điểm chung của AB và MI

=>AMBI là hình bình hành

Hình bình hành AMBI có AB⊥MI

nên AMBI là hình thoi

c: Hình thoi AMBI trở thành hình vuông khi MA⊥MB

=>ΔMAB vuông cân tại M

=>\(\hat{MBA}=45^0\)

hay \(\hat{ABC}=45^0\)

d: Xét tứ giác APHQ có \(\hat{APH}=\hat{AQH}=\hat{PAQ}=90^0\)

nên APHQ là hình chữ nhật

=>\(\hat{AQP}=\hat{AHP}\)

mà \(\hat{AHP}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{AQP}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

\(\hat{MAC}+\hat{AQP}=\hat{MCA}+\hat{MBA}=90^0\)

=>QP⊥AM

B D V N M K E C

a) Xét tứ giác ADME có :

Góc A = 90⁰ ( tam giác ABC vuông tại A )

Góc D = 90⁰ ( MD vuông góc AB )

Góc E = 90⁰ ( ME vuông góc AC )

Do đó tứ giác ADME là hình chữ nhật

b) Chứng minh đúng D, E là trung điểm của AB ; AC

Chứng minh đúng DE là đường trung bình của tam giác 

ABC nên DE song song và \(DE=\frac{BC}{2}\)

Cho nên DE song song với BM và DE = BM

=> Tứ giác BDME là hình bình hành

c) Xét tứ giác AMCF có :

E là trung điểm MF ( vì M đối xứng với F qua E )

Mà E là trung điểm của AC ( cmt )

Nên tứ giác AMCF là hình bình hành 

Ta có AC vuông góc MF ( vì ME vuông góc AC )

Do đó tứ giác AMCF là hình thoi

d) Chứng minh đúng tứ giác ABNE là hình chữ nhật

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AN và BE của hình chữ nhật ABNE

trong tam giác vuông BKE có KO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BE

nên \(KO=\frac{BE}{2}\)

mà BE = AN ( đường chéo hình chữ nhật ) nên \(KO=\frac{AN}{2}\)

trong tam giác AKN có trung tuyến KO bằng nửa cạnh AN

nên tam giác AKN vuông tại A 

Vậy AK vuông góc KN

$\in $

a: Xét tứ giác AHIK có

\(\widehat{AHI}=\widehat{AKI}=\widehat{KAH}=90^0\)

Do đó: AHIK là hình chữ nhật