P(x) chia x-1 dư 5

=>P(1)=5

P(x) chia x-2 dư 7

=>P(2)=7

P(x) chia x-3 dư 10

=>P(3)=10

P(x) chia x+2 dư -4

=>P(-2)=-4

(x-1)(x-2)(x-3)(x+2) có bậc là 4

=>R(x) có bậc là 3

=>\(R\left(x\right)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d\)

Gọi đa thức thương là Q(x)

Theo đề, ta có: \(P\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x+2\right)+R\left(x\right)\)

P(1)=5

=>\(Q\left(1\right)\cdot\left(1-1\right)\left(1-2\right)\left(1-3\right)\left(1+2\right)+R\left(1\right)=5\)

=>R(1)=5

=>\(a\cdot1^3+b\cdot1+c+d=5\)

=>a+b+c+d=5

P(2)=7

=>\(Q\left(2\right)\cdot\left(2-1\right)\left(2-2\right)\left(2-3\right)\left(2+2\right)+R\left(2\right)=7\)

=>R(2)=7

=>8a+4b+2c+d=7

=>8a+4b+2c+d-a-b-c-d=7-5

=>7a+3b+c=2

=>14a+6b+2c=4(3)

P(3)=10

=>\(Q\left(3\right)\cdot\left(3-1\right)\left(3-2\right)\left(3-3\right)\left(3+2\right)+R\left(3\right)=10\)

=>R(3)=10

=>27a+9b+3c+d=10

=>27a+9b+3c+d-a-b-c-d=10-5=5

=>26a+8b+2c=5(2)

P(-2)=-4

=>\(Q\left(-2\right)\cdot\left(-2-1\right)\left(-2-2\right)\left(-2-3\right)\left(-2+2\right)+R\left(-2\right)=-4\)

=>R(-2)=-4

=>-8a+4b-2c+d=-4

=>-8a+4b-2c+d-a-b-c-d=-4-5

=>-9a+3b-3c=-9

=>-3a+b-c=-3

=>-6a+2b-2c=-6(1)

Từ (1),(2) suy ra -6a+2b-2c+26a+8b+2c=-6+5

=>20a+10b=-1

Từ (1),(3) suy ra -6a+2b-2c+14a+6b+2c=-6+4

=>8a+8b=-2

=>10a+10b=-2,5

=>20a+10b-10a-10b=-1+2,5

=>10a=1,5

=>a=0,15

8a+8b=-2

=>8(a+b)=-2

=>a+b=-0,25

=>b=-0,25-0,15=-0,4

-3a+b-c=-3

=>3a-b+c=3

=>c=3-3a+b=3-3*0,15+(-0,4)=3-0,4-0,45=3-0,85=2,15

a+b+c+d=5

=>d+0,15-0,4+2,15=5

=>d=3,1

Vậy: R(x)=0,15x^3-0,4x^2+2,15x+3,1

Cho abc thuộc N* thỏa mãn a^2+b^2=c^2+d^2.cmr :a+b+c+d là hợp số

1) 

Đặt \(f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.\)( a khác 0 )

Ta có:

\(f\left(1\right)=a+b+c+d+e=0\)                                            (1)

\(f\left(2\right)=16a+8b+4c+2d+e=0\)                              (2)

\(f\left(3\right)=81a+27b+9c+3d+e=0\)                           (3)

\(f\left(4\right)=256a+64b+16c+4d+e=6\)                      (4)

\(f\left(5\right)=625a+125b+25c+5d+e=72\)                (5)

\(A=f\left(2\right)-f\left(1\right)=15a+7b+3c+d=0\)

\(B=f\left(3\right)-f\left(2\right)=65a+19b+5c+d=0\)

\(C=f\left(4\right)-f\left(3\right)=175a+37b+7c+d=6\)

\(D=f\left(5\right)-f\left(4\right)=369a+61b+9c+d=72-6=66\)

\(E=B-A=50a+12b+2c=0\)

\(F=C-B=110a+18b+2c=6\)

\(G=D-C=194a+24b+2c=66-6=60\)

Tiếp tục lấy H=F-E; K=G-F; M=H-K

Ta tìm được a

Thay vào tìm được b,c,d,e

1. gọi đa thức cần tìm là f(x) =a.x^4+b.x^3+c.x^2+dx+e

có f(1)=f(2)=f(3) = 0 nên x=1,2,3 la nghiệm của f(x) = 0 vậy f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(mx+n) 

thay f(4)=6 và f(5)=72 tìm được m =2 và n= -7 

Vậy đa thức f(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(2x-7) => e = (-1).(-2).(-3).(-7) = 42

Với x=2010 thì (a 2010^4+b.2010^3+c.2010^2+d.2010 ) luôn chia hết 10 vậy số dư f(2010) chia 10 = số dư d/10 = 2 (42 chia 10 dư 2).

2. Thiếu dữ liệu 

3. đa thức f(x) chia đa thức (x-3) có số dư là 2 =>bậc f(x) = bậc (x-3)=1 và f(x) = m.(x-3) +2=mx+2-3m (1)

...........................................(x+4)...................9..........................................f(x) = n(x+4) + 9=nx+4n+9 (2)

để (1)(2) cùng xảy ra thì m=n và (2-3m)=(4n+9) => m = n = -1 khi đó đa thức f(x) = -x +5 

Không hiếu dữ liệu cuối f(x) chia 1 đa thức bậc 2 lại có thương là 1 đa thức bậc 2? => vô lý 

a) Ta có f(x) - 5 \(⋮\)x + 1 

=> x³ + mx² + nx + 2 - 5 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx² + nx  - 3 \(⋮\)x + 1

=> x = - 1 là nghiệm đa thức 

Khi đó (-1)³ + m(-1)² + n(-1) - 3 = 0

<=> m - n = 4 (1) 

Tương tự ta được f(x) - 8 \(⋮\)x + 2 

=> x³ + mx² + nx - 6 \(⋮\) x + 2

=> x = -2 là nghiệm đa thức

=> (-2)³ + m(-2)² + n(-2) - 6 = 0

<=> 2m - n = 7 (2) 

Từ (1)(2) => HPT \(\left\{{}\begin{matrix}m-n=4\\2m-n=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\n=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức đó là f(x) = x³ + 3x² - x + 2  

b)  f(x) - 7 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx + n - 7 \(⋮\) x + 1 

=> x = -1 là nghiệm đa thức 

=> (-1)³ + m(-1) + n - 7 = 0

<=> -m + n = 8 (1) 

Tương tự ta được : x³ + mx + n + 5 \(⋮\)x - 3 

=> x = 3 là nghiệm đa thức 

=> 3³ + 3m + n + 5 = 0

<=> 3m + n = -32 (2) 

Từ (1)(2) => HPT : \(\left\{{}\begin{matrix}3m+n=-32\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m=-40\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-10\\n=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy f(x) = x³ - 10x -2

Lời giải:

Gọi $R(x)$ là đa thức dư khi chia $P(x)$ cho $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$. Bậc của $R(x)$ phải nhỏ hơn bậc đa thức chia. Do đó đặt:

\(R(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

\(P(x)=Q(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+ax^3+bx^2+cx+d\)

Trong đó $Q(x)$ là đa thức thương.

Theo định lý Bê-du về phép chia đa thức:

\(\left\{\begin{matrix} P(1)=a+b+c+d=-2019\\ P(2)=8a+4b+2c+d=-2036\\ P(3)=27a+9b+3c+d=-2013\\ P(4)=64a+16b+4c+d=-1902\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=8\\ b=-28\\ c=11\\ d=-2010\end{matrix}\right.\)

Vậy \(R(x)=8x^3-28x^2+11x-2010\)

b)

Từ phần a suy ra:

\(\left\{\begin{matrix} R(1)=P(1)=-2019\\ R(2)=P(2)=-2036\\ R(3)=P(3)=-2013\\ R(4)=P(4)=-1902\\ R(5)=8.5^3-28.5^2+11.5-2010=-1655\end{matrix}\right.\)

Hệ số cao nhất bằng 1 là sao bạn

_ là thế này: x⁴ có hệ số là 1; 3x¹² có hệ số là 3

Gọi P(x),R(x) lần lượt là thương và dư khi chia f(x) cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

=>\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+R\left(x\right)\)

Khi chia f(x) cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) sẽ được dư là một đa thức bậc hai

=>Dư là \(R\left(x\right)=a\cdot x^2+bx+c\)

=>\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+bx+c\)

f(x) chia x+1 dư 4 nên f(-1)=4

Thay x=-1 vào f(x), ta được:

\(f\left(-1\right)=\left(-1+1\right)\left\lbrack\left(-1\right)^2+1\right\rbrack\cdot P\left(x\right)+a\cdot\left(-1\right)^2+b\cdot\left(-1\right)+c\)

=>a-b+c=4

Ta có: \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+bx+c\)

\(=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+a+bx+c-a\)

\(=\left(x^2+1\right)\left\lbrack\left(x+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\right\rbrack+bx+c-a\)

f(x) chia \(x^2+1\) dư 2x+3 nên bx+c-a=2x+3

=>b=2; c-a=3

a-b+c=4

=>a+c=4+b=4+2=6

mà c-a=3

nên \(c=\frac{3+6}{2}=4,5;a=4,5-3=1,5\)

Vậy: Đa thức dư là \(R\left(x\right)=1,5x^2+2x+4,5\)

Bạn vào đây xem thử

Câu hỏi của bababa ânnnanana - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

giúp em với mọi người ơi em đang cần gấp lắm ạ TvT

Theo định lý Bezout: số dư khi chia P(x) cho x + 2 là P(-2) => P(-2) = 3,589

Số dư khi chia P(x) cho x - 3 là P(3) => P(3) = 4,237

Gọi số dư khi chia P(x) cho (x + 2)(x - 3) là ax + b (a ≠ 0)

Ta có: P(x) = (2x + 1)(x + 2)(x - 3) + ax + b

                  = 2x³ - x² - (13 - a)x - 6 + b

=> P(-2) = -2a + b = 3,589  (1);    P(3) = 3a + b = 4,237       (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}-2a+b=3,589\\3a+b=4,237\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a=0,648\\-2a+b=3,589\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0,1296\\b=3,8482\end{matrix}\right.\)  (t/m)

=> P(x) = 2x³ - x² - 12,8704x - 2,1518

=> P(2) = 16 - 4 - 25,7408 - 2,1518 = -15,8926

P(20) = 16000 - 400 - 257,408 - 2,1518 = 15340,4402