P(x) là đa thức bậc 4

=>\(P\left(x\right)=a\cdot x^4+b\cdot x^3+c\cdot x^2+d\cdot x+e\)

P(1)=P(-1)

=>\(a\cdot1^4+b\cdot1^3+c\cdot1^2+d\cdot1+e=a\cdot\left(-1\right)^4+b\cdot\left(-1\right)^3+c\cdot\left(-1\right)^2+d\cdot\left(-1\right)+e\)

=>a+b+c+d+e=a-b+c-d+e

=>b+d=-b-d

=>b+d=0

P(2)=P(-2)

=>\(a\cdot2^4+b\cdot2^3+c\cdot2^2+d\cdot2+e=a\cdot\left(-2\right)^4+b\cdot\left(-2\right)^3+c\cdot\left(-2\right)^2+d\cdot\left(-2\right)+e\)

=>16a+8b+4c+2d+e=16a-8b+4c-2d+e

=>8b+2d=-8b-2d

=>16b+4d=0

=>8b+2d=0

=>4b+d=0

mà b+d=0

nên b=d=0

=>\(P\left(x\right)=a\cdot x^4+c\cdot x^2+e\)

\(P\left(-x\right)=a\cdot\left(-x\right)^4+c\cdot\left(-x\right)^2+e\)

\(=a\cdot x^4+c\cdot x^2+e\)

=P(x)

=>ĐPCM

Giả sử \(P\left(x\right)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g\)

\(P\left(1\right)=P\left(-1\right)\Rightarrow a+b+c+d+e+f+g=a-b+c-d+e-f+g\)

\(\Rightarrow b+d+f=0\)(1)

Tương tự; \(P\left(2\right)=P\left(-2\right)\Rightarrow2^5b+2^3d+2f=-2^5b-2^3d-2f\)

\(\Rightarrow16b+4d+f=0\)(2)

\(P\left(3\right)=P\left(-3\right)\Rightarrow3^5b+3^3d+3f=-3^5b-3^3d-3f\)

\(\Rightarrow3^4b+3^2d+f=0\)(3)

Từ 1,2,3 suy ra \(b=d=f=0\)

Suy ra P(x) là đa thức chỉ có bậc chẵn => P(x) = P(-x) với mọi x thuộc R

đúng rồi

P(x) là đa thức bậc hai nên đặt P(x) = ax² + bx + c

Vì P(-1) = P(1) => a.(-1)² + b. (-1) + c = a.1² + b.1 + c => -b = b => b = 0 

=> P(x) =  ax² +  c

=> P(-x) = a.(-x)² + c =  ax² + c

=> P(-x) = P(x)

P(x) là đa thức bậc hai nên đặt P(x) = ax² + bx + c

Vì P(-1) = P(1) => a.(-1)² + b. (-1) + c = a.1² + b.1 + c => -b = b => b = 0 

=> P(x) =  ax² +  c

=> P(-x) = a.(-x)² + c =  ax² + c

=> P(-x) = P(x)