a: P(0;4); (d1): mx+(m-1)y-2m+1=0

Khoảng cách từ P đến (d1) là:

\(d\left(P;\left(d1\right)\right)=\frac{\left|0\cdot m+4\left(m-1\right)-2m+1\right|}{\sqrt{m^2+\left(m-1\right)^2}}=\frac{\left|4m-4-2m+1\right|}{\sqrt{2m^2-2m+1}}\)

\(=\frac{\left|2m-3\right|}{\sqrt{2m^2-2m+1}}=\frac{\left|2m-3\right|}{\sqrt{2\left(m^2-m+\frac12\right)}}=\frac{\left|2m-3\right|}{\sqrt{2\left(m-\frac12\right)^2+\frac12}}\le\frac{\left|2m-3\right|}{\sqrt{\frac12}}=\sqrt2\left|2m-3\right|\)

Để d(P;(d1)) lớn nhất thì m-1/2=0

=>m=1/2

b: Tọa độ của điểm I sẽ là nghiệm của hệ sau:

\(\begin{cases}mx+\left(m-1\right)y-2m+1=0\\ \left(1-m\right)x+my-4m+1=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}mx+\left(m-1\right)y=2m-1\\ \left(1-m\right)x+my=4m-1\end{cases}\) (1)

Để (1) có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m}{1-m}<>\frac{m-1}{m}\)

=>\(m^2<>\left(m-1\right)\left(1-m\right)=-\left(m-1\right)^2\)

=>\(m^2+\left(m-1\right)^2<>0\)

=>\(2m^2-2m+1<>0\)

=>\(m^2-m+\frac12<>0\)

=>\(m^2-m+\frac14+\frac14<>0\)

=>\(\left(m-\frac12\right)^2+\frac14<>0\) (luôn đúng)
=>(d1) luôn cắt (d2) tại một điểm I cố định

Gọi A là giao điểm

Pt hoành độ giao điểm:

\(3x_A-m-1=2x_A+m-1\Rightarrow x_A=2m\)

\(\Rightarrow\) Tung độ giao điểm: \(y_A=5m-1\)

\(\Rightarrow y_A=\dfrac{5}{2}.2m-1=\dfrac{5}{2}x_A-1\)

\(\Rightarrow\)Giao điểm của d1 và d2 luôn thuộc đường thẳng cố định: \(y=\dfrac{5}{2}x-1\)

a/

\(\Rightarrow3=4m.2-m-5\Leftrightarrow m=\dfrac{8}{5}\)

b/

Tọa độ A là \(A\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Rightarrow y_0=4mx_0-m-5\forall m\)

\(\Leftrightarrow\left(4x_0-1\right)m-\left(y_0+5\right)=0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x_0-1=0\\y_0+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=\dfrac{1}{4}\\y_0=-5\end{matrix}\right.\)

=> d1 luân đi qua điểm A cố định \(A\left(\dfrac{1}{4};-5\right)\forall m\)

Tọa độ B là \(B\left(x_1;y_1\right)\)

\(\Rightarrow y_1=\left(3m^2+1\right)x_1+m^2-4\forall m\)

\(\Leftrightarrow3m^2x_1+x_1+m^2-4-y_1=0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\left(3x_1+1\right)m^2+x_1-y_1-4=0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1+1=0\\x_1-y_1-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-\dfrac{1}{3}\\y_1=-\dfrac{13}{3}\end{matrix}\right.\)

=> d2 luân đi qua điểm B cố định \(B\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{13}{3}\right)\)

d/ d1//d2 khi

\(\left\{{}\begin{matrix}4m=3m^2+1\\-m-5\ne m^2-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m_1=1\\m_2=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\\m^2+m+1\ne0\end{matrix}\right.\)

Ta có \(m^2+m+1>0\forall m\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=1\\m_2=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

e/

\(\Rightarrow4mx-\left(m+5\right)=\left(3m^2+1\right)x+m^2-4\) tìm m để phương trình có nghiệm

Tìm giao

\(\Rightarrow4mx-\left(m+5\right)=\left(3m^2+1\right)x+m^2-4\) khi m=2

Thay m=2 tìm x rồi thay vào d1 hoặc d2 để tìm y

Pt hoành độ giao điểm:

\(3x-m-1=2x+m-1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2m\\y=5m-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y-\frac{5}{2}x=5m-1-\frac{5}{2}.2m=-1\)

\(\Rightarrow y=\frac{5}{2}x-1\)

Vậy giao điểm của 2 đường thẳng luôn nằm trên đường thẳng \(y=\frac{5}{2}x-1\)