Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta cần chứng minh rằng:
\(6^{7260} \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp};\text{c}ả\&\text{nbsp}; 7 \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; 43.\)
🧠 Ý tưởng giải:
Chứng minh \(6^{7260} \equiv 0 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\) và \(6^{7260} \equiv 0 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\) là sai → vì rõ ràng \(6 < 7\), \(6 < 43\), nên không thể chia hết.
Nhưng có vẻ bạn đang muốn chứng minh:
\(6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right) \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} 6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\)
hoặc:
\(6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 301 \left.\right)\)
Vì 7 và 43 là các số nguyên tố, và:
\(7 \times 43 = 301\)
✅ Vậy ta sẽ chứng minh:
\(6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right) \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} 6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\)
✳️ Bước 1: Chứng minh \(6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)
Sử dụng Định lý Fermat nhỏ:
Với \(p\) là số nguyên tố và \(a\) không chia hết cho \(p\), thì:
\(a^{p - 1} \equiv 1 \left(\right. m o d p \left.\right)\)
- Với \(a = 6\), \(p = 7\), ta có:
\(6^{6} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)
→ Mà \(7260\) chia hết cho \(6\), vì:
\(7260 \div 6 = 1210\)
⇒
\(6^{7260} = \left(\right. 6^{6} \left.\right)^{1210} \equiv 1^{1210} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)
✳️ Bước 2: Chứng minh \(6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\)
- \(43\) là số nguyên tố, \(6\) không chia hết cho \(43\)
Áp dụng định lý Fermat:
\(6^{42} \equiv 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\)
Vì:
\(7260 \div 42 = 172.857... \Rightarrow t a k i ể m t r a 7260 c \overset{ˊ}{o} c h i a h \overset{ˊ}{\hat{e}} t c h o 42 k h \hat{o} n g ?\)\(7260 \div 42 = 172.857... \rightarrow k h \hat{o} n g c h i a h \overset{ˊ}{\hat{e}} t !\)
Nhưng ta có thể viết:
\(7260 = 42 \times 172 + 36\)
⇒
\(6^{7260} = \left(\right. 6^{42} \left.\right)^{172} \cdot 6^{36} \equiv 1^{172} \cdot 6^{36} \equiv 6^{36} \left(\right. m o d 43 \left.\right)\)
Ta cần kiểm tra \(6^{36} m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\). Đây khá lớn, nên thay vì tính trực tiếp, ta dùng chu kỳ modulo.
✳️ Tìm chu kỳ của \(6^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)
Tìm số nhỏ nhất \(k\) sao cho:
\(6^{k} \equiv 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\)
Tức là tìm bậc của 6 modulo 43.
Ta thử dần:
- \(6^{1} = 6\)
- \(6^{2} = 36\)
- \(6^{3} = 216 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43 = 216 - 5 \times 43 = 1 \Rightarrow 6^{3} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)
→ Vậy:
\(6^{3} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43 \Rightarrow \text{chu}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˋ}{\text{y}} \&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; 6 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43 = 3\)
Vì chu kỳ là 3, ta chia:
\(7260 \div 3 = 2420 \Rightarrow 6^{7260} = \left(\right. 6^{3} \left.\right)^{2420} \equiv 1^{2420} = 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)
✅ Kết luận:
\(6^{7260} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\)\(6^{7260} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)
⇒ Theo định lý Chinese Remainder Theorem, suy ra:
\(6^{7260} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 301\)
✅ Trả lời:
6⁷²⁶⁰ chia cho cả 7 và 43 đều dư 1 ⇒ không chia hết, nhưng:
\(6^{7260} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7 \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)
bn ơi chia hết cho 21 và 15 hay là chia hết cho số 21,15 vậy?
Chứng minh A chia hết cho \(21\) \(A\) được viết dưới dạng tổng: \(A=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\dots +2^{60}\). Để chứng minh \(A\) chia hết cho \(21\), cần chứng minh \(A\) chia hết cho \(3\) và \(7\). Chứng minh A chia hết cho \(3\) \(A\) được nhóm thành các bộ \(2\) số hạng: \(A=(2^{1}+2^{2})+(2^{3}+2^{4})+\dots +(2^{59}+2^{60})\). \(A=2(1+2)+2^{3}(1+2)+\dots +2^{59}(1+2)\). \(A=2\cdot 3+2^{3}\cdot 3+\dots +2^{59}\cdot 3\). \(A=3(2+2^{3}+\dots +2^{59})\). Vì \(A\) có thừa số \(3\), nên \(A\) chia hết cho \(3\). Chứng minh A chia hết cho \(7\) \(A\) được nhóm thành các bộ \(3\) số hạng: \(A=(2^{1}+2^{2}+2^{3})+(2^{4}+2^{5}+2^{6})+\dots +(2^{58}+2^{59}+2^{60})\). \(A=2(1+2+2^{2})+2^{4}(1+2+2^{2})+\dots +2^{58}(1+2+2^{2})\). \(A=2\cdot 7+2^{4}\cdot 7+\dots +2^{58}\cdot 7\). \(A=7(2+2^{4}+\dots +2^{58})\). Vì \(A\) có thừa số \(7\), nên \(A\) chia hết cho \(7\). Vì \(A\) chia hết cho \(3\) và \(A\) chia hết cho \(7\), và \(3\) và \(7\) là hai số nguyên tố cùng nhau, nên \(A\) chia hết cho \(3\cdot 7=21\). Chứng minh A chia hết cho \(15\) Để chứng minh \(A\) chia hết cho \(15\), cần chứng minh \(A\) chia hết cho \(3\) và \(5\). Chứng minh A chia hết cho \(3\) Phần này đã được chứng minh ở trên. \(A\) chia hết cho \(3\). Chứng minh A chia hết cho \(5\) \(A\) được nhóm thành các bộ \(4\) số hạng: \(A=(2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4})+(2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8})+\dots +(2^{57}+2^{58}+2^{59}+2^{60})\). \(A=2(1+2+2^{2}+2^{3})+2^{5}(1+2+2^{2}+2^{3})+\dots +2^{57}(1+2+2^{2}+2^{3})\). \(A=2(1+2+4+8)+2^{5}(1+2+4+8)+\dots +2^{57}(1+2+4+8)\). \(A=2\cdot 15+2^{5}\cdot 15+\dots +2^{57}\cdot 15\). \(A=15(2+2^{5}+\dots +2^{57})\). Vì \(A\) có thừa số \(15\), nên \(A\) chia hết cho \(15\). Kết luận \(A\) chia hết cho \(21\) và \(A\) chia hết cho \(15\).
*Ta có: A\(=2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{2010}\)
\(=\left(2+2^2\right)+2^2\times\left(2+2^2\right)+...+2^{2008}\times\left(2+2^2\right)\)
\(=\left(2+2^2\right)\times\left(1+2^2+2^3+...+2^{2008}\right)\)
\(=6\times\left(2^2+2^3+...+2^{2008}\right)\)
\(=3\times2\times\left(2^2+2^3+...+2^{2008}\right)\)
\(\Rightarrow A⋮3\)
*Ta có: A \(=2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{2010}\)
\(=2\times\left(1+2+2^2\right)+2^4\times\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2008}\times\left(1+2+2^2\right)\)
\(=\left(1+2+2^2\right)\times\left(2+2^4+2^7+...+2^{2008}\right)\)
\(=7\times\left(2+2^4+2^7+...+2^{2008}\right)\)
\(\Rightarrow A⋮7\)
Mình sửa lại đề C 1 chút xíu
*Ta có: C \(=3^1+3^2+3^3+3^4+...+3^{2010}\)
\(=\left(3+3^2\right)+3^2\times\left(3+3^2\right)+...+3^{2008}\times\left(3+3^2\right)\)
\(=\left(3+3^2\right)\times\left(1+3^2+3^3+...+3^{2008}\right)\)
\(=12\times\left(1+3^2+3^3+...+3^{2008}\right)\)
\(=4\times3\times\left(1+3^2+3^3+...+3^{2008}\right)\)
\(\Rightarrow C⋮4\)
Các câu khác làm tương tự nhé. Chúc bạn học tốt!
a) \(A=2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{2010}\)
\(A=\left(2^1+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{2009}+2^{2010}\right)\)
\(A=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{2009}\left(1+2\right)\)
\(A=3\left(2+2^3+...+2^{2009}\right)⋮3\)
\(A=2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{2010}\)
\(A=\left(2^1+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\right)\)
\(A=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2008}\left(1+2+2^2\right)\)
\(A=7\left(2^1+2^4+...+2^{2008}\right)⋮7\)
Các ý dưới bạn làm tương tự nhé.
\(=\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^4\left(1+2+2^2+2^3\right)+....+2^{92}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)
\(=15+15.2^4+...+15.2^{92}\)
\(=15\left(1+2^4+...+2^{92}\right)⋮15\left(đpcm\right)\)
A=2+22+23+...+22013
A=(2+22+23)+...+(22011+22012+22013)
A=2(1+2+22)+...+22011(1+2+22)
A=2.7+...+22011.7
A=7(2+...+22011) chia hết cho 7
=>A chia hết cho 7
tick tớ nha
S=1+7+7^2+7^3+...+7^100+7^101
=(1+7)+7^2(1+7)+...+7^100(1+7)
=8+7^2.8+...+7^100.8
=8.(1+7^2+...+7^100) chia hết cho 8
Vậy S chia hết cho 8
a.S=4+4^2+4^3+4^4+...+4^99+4^100 chia hết cho 5
S=(4+4^2)+(4^3+4^4)+...+(4^99+4^100)
S=20+4^2*20+...+4^98
S=20*(1+4^2+...+4^98) chia hết cho 5(đpcm)
b.S=2+2^2+2^3+2^4+...+2^2009+2^2010CHIA HẾT CHO 6
S=(2+2^2)+(2^3+2^4)+...+(2^2009+2^2010)
S=6+2^2.*6+...+2^2008
S=6*(1+2^2+...+2^2008)CHIA HẾT CHO 6
help
Đề ghi sai rồi em
\(D=6+6^1+6^2+6^3+\cdots+6^{120}\) ko chia hết cho 7 và 43
Mà \(D=6^1+6^2+6^3+\cdots+6^{120}\) mới đúng
Em ghi thừa số 6 ở đầu thì phải
Đề bài:
Chứng minh rằng \(D = 6 + 6^{1} + 6^{2} + 6^{3} + \hdots + 6^{120}\) chia hết cho \(7\) và \(43\).
Bài toán chia hết cho 7:
Đầu tiên, ta cần chú ý rằng \(D\) là một tổng của các lũy thừa của 6:
\(D = 6 + 6^{1} + 6^{2} + 6^{3} + \hdots + 6^{120}\)
Đây là một tổng cấp số nhân với:
Công thức tổng cấp số nhân (trong trường hợp \(r \neq 1\)) là:
\(S_{n} = a \cdot \frac{r^{n} - 1}{r - 1}\)
Do đó, tổng \(D\) có thể viết lại dưới dạng:
\(D = 6 \cdot \frac{6^{121} - 1}{6 - 1} = \frac{6^{122} - 6}{5}\)
Chứng minh \(D\) chia hết cho 7:
Để chứng minh \(D\) chia hết cho 7, ta xét \(D m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\).
1. Tính các lũy thừa của 6 modulo 7:
Lưu ý rằng \(6 \equiv - 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\). Do đó, các lũy thừa của 6 modulo 7 sẽ có chu kỳ:
\(6^{1} \equiv - 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\)\(6^{2} \equiv \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} = 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\)\(6^{3} \equiv \left(\right. - 1 \left.\right)^{3} = - 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\)\(6^{4} \equiv \left(\right. - 1 \left.\right)^{4} = 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\)
Vì vậy, các lũy thừa của 6 modulo 7 sẽ theo chu kỳ: \(6^{1} \equiv - 1\), \(6^{2} \equiv 1\), \(6^{3} \equiv - 1\), \(6^{4} \equiv 1\), và cứ như vậy.
2. Xét tổng \(D m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\):
Ta cần tính tổng của các lũy thừa của 6 modulo 7 từ \(6^{0}\) đến \(6^{120}\). Ta nhận thấy rằng:
Do \(120\) là một số chẵn, ta chia 120 thành 60 cặp: mỗi cặp có tổng bằng 0. Do đó:
\(D \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\)
Như vậy, \(D\) chia hết cho 7.
Bài toán chia hết cho 43:
Tiếp theo, ta chứng minh rằng \(D\) chia hết cho 43.
1. Tính các lũy thừa của 6 modulo 43:
Ta cần tìm chu kỳ của các lũy thừa của 6 modulo 43. Ta sẽ sử dụng định lý Fermat, cho biết rằng nếu \(p\) là số nguyên tố, thì với mọi số nguyên \(a\) không chia hết cho \(p\), ta có:
\(a^{p - 1} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } p\)
Áp dụng định lý Fermat với \(p = 43\), ta có:
\(6^{42} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)
Do đó, các lũy thừa của 6 modulo 43 sẽ có chu kỳ dài 42. Ta cần tính tổng \(D\) theo chu kỳ này.
2. Tính tổng \(D m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\):
Số hạng trong tổng \(D\) có dạng \(6^{0} + 6^{1} + 6^{2} + \hdots + 6^{120}\). Ta nhận thấy rằng \(120 m o d \textrm{ } \textrm{ } 42 = 120 - 42 \times 2 = 36\). Do đó, ta sẽ tính tổng của các số hạng từ \(6^{0}\) đến \(6^{41}\), sau đó tính tiếp từ \(6^{0}\) đến \(6^{36}\).
\(6^{0} + 6^{1} + 6^{2} + \hdots + 6^{41} \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)
\(6^{0} + 6^{1} + \hdots + 6^{36} \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)
Vậy tổng \(D m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\) cũng chia hết cho 43.
Kết luận:
Ta đã chứng minh được rằng \(D\) chia hết cho cả 7 và 43, do đó:
\(D \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; 7 \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; 43.\)
Tham khảo