Câu hỏi của Pham Trong Bach

Question

Cho chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, SA = 5a. Gọi D, E là hình chiếu của A trên SB, SC. Thể tích khối chóp A.BCED là

$A . \frac{85 a^{3}}{1352}$

$B . \frac{22 a^{3}}{289}$

$C . \frac{19 a^{3}}{200}$

$D . \frac{3 a^{3}}{25}$

Cao Minh Tâm · Accepted Answer

Đáp án là A

Câu trả lời:

Đáp án là A

Nguyễn Quốc Đạt · Answer

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA=5a$ nên đặt:

$S(0,0,5a)$

Ta có:

$\vec{SB}=(a,0,-5a)$

Điểm $D \in SB$ nên:

$D=S+t\vec{SB}=(at,0,5a-5at)$

Do $AD \perp SB$ nên:

$\vec{AD}\cdot\vec{SB}=0$

$\Rightarrow (at,0,5a-5at)\cdot(a,0,-5a)=0$

$\Rightarrow a^2t-25a^2+25a^2t=0$

$\Rightarrow 26t=25$

$\Rightarrow t=\dfrac{25}{26}$

Suy ra:

$SD=\dfrac1{26}SB$

Tương tự:

$SE=\dfrac1{26}SC$

Thể tích khối chóp $S.ABC$:

$V_{S.ABC}=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot5a=\dfrac{5a^3}{6}$

Trong mặt phẳng $(SBC)$, ta có:

$ riangle SDE \sim riangle SBC$

với tỉ số:

$k=\dfrac1{26}$

Nên:

$\dfrac{S_{SDE}}{S_{SBC}}=\left(\dfrac1{26} ight)^2=\dfrac1{676}$

Hai khối chóp $S.ADE$ và $S.ABC$ có chung chiều cao từ $A$ xuống $(SBC)$ nên:

$\dfrac{V_{S.ADE}}{V_{S.ABC}}=\dfrac1{676}$

Suy ra:

$V_{S.ADE}=\dfrac1{676}\cdot\dfrac{5a^3}{6}$

Câu trả lời:

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA=5a$ nên đặt:

$S(0,0,5a)$

Ta có:

$\vec{SB}=(a,0,-5a)$

Điểm $D \in SB$ nên:

$D=S+t\vec{SB}=(at,0,5a-5at)$

Do $AD \perp SB$ nên:

$\vec{AD}\cdot\vec{SB}=0$

$\Rightarrow (at,0,5a-5at)\cdot(a,0,-5a)=0$

$\Rightarrow a^2t-25a^2+25a^2t=0$

$\Rightarrow 26t=25$

$\Rightarrow t=\dfrac{25}{26}$

Suy ra:

$SD=\dfrac1{26}SB$

Tương tự:

$SE=\dfrac1{26}SC$

Thể tích khối chóp $S.ABC$:

$V_{S.ABC}=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot5a=\dfrac{5a^3}{6}$

Trong mặt phẳng $(SBC)$, ta có:

$ riangle SDE \sim riangle SBC$

với tỉ số:

$k=\dfrac1{26}$

Nên:

$\dfrac{S_{SDE}}{S_{SBC}}=\left(\dfrac1{26} ight)^2=\dfrac1{676}$

Hai khối chóp $S.ADE$ và $S.ABC$ có chung chiều cao từ $A$ xuống $(SBC)$ nên:

$\dfrac{V_{S.ADE}}{V_{S.ABC}}=\dfrac1{676}$

Suy ra:

$V_{S.ADE}=\dfrac1{676}\cdot\dfrac{5a^3}{6}$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP