Vì $x,y,z>0$ nên theo bất đẳng thức AM-GM:

$x+y\ge2\sqrt{xy}$

$y+z\ge2\sqrt{yz}$

$z+x\ge2\sqrt{zx}$

Nhân ba bất đẳng thức trên:

$(x+y)(y+z)(z+x)\ge8\sqrt{x^2y^2z^2}$$=8xyz.$

Theo giả thiết: $(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz.$

Do đó dấu bằng xảy ra trong cả ba bất đẳng thức AM-GM:

$x+y=2\sqrt{xy}$

$y+z=2\sqrt{yz}$

$z+x=2\sqrt{zx}.$

Suy ra $x=y,\quad y=z,\quad z=x.$

Vậy $x=y=z$

Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số dương ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(x+z\ge2\sqrt{xz}\)

=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)

Dấu"=" xảy ra <=>x=y y=z z=x=>x=y=z

=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=8xyz\Leftrightarrow x=y=z\)(ĐPCM)
 

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta được:

\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\frac{y+z}{2}\ge\sqrt{yz}\Rightarrow y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(\frac{x+z}{2}\ge\sqrt{xz}\Rightarrow x+z\ge2\sqrt{xz}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)(Vì x,y,z > 0)

Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho hai số không âm ta có: 

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)

Dấu "=" <=> x = y = z. (đpcm)

Vì $x+y+z=3$ nên $y+z=3-x,\quad x+z=3-y,\quad x+y=3-z.$

Do đó $P=\dfrac1{x^2+3-x}+\dfrac1{y^2+3-y}+\dfrac1{z^2+3-z}.$

Với $0<x<3$, ta có $\dfrac1{x^2+3-x}\le\dfrac{4-x}{9}$ vì $\dfrac{4-x}{9}-\dfrac1{x^2+3-x}$

$=\dfrac{(4-x)(x^2-x+3)-9}{9(x^2-x+3)}$

$=\dfrac{-(x-3)(x-1)^2}{9(x^2-x+3)}\ge0.$

Tương tự, $\dfrac1{y^2+3-y}\le\dfrac{4-y}{9}$

$\dfrac1{z^2+3-z}\le\dfrac{4-z}{9}.$

Suy ra $P\le\dfrac{4-x}{9}+\dfrac{4-y}{9}+\dfrac{4-z}{9}$$=\dfrac{12-(x+y+z)}9$$=\dfrac{12-3}{9}$$=1.$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1.$

Khi đó $P=\dfrac13+\dfrac13+\dfrac13=1.$

Vậy $P_{\max}=1.$

Ta có $xyz\ge x+y+z+2.$

Theo bất đẳng thức AM-GM:

$xyz\le\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3.$

Suy ra $\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3\ge x+y+z+2$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^3\ge27(x+y+z+2)$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^3-27(x+y+z)-54\ge0$

$\Leftrightarrow (x+y+z-6)(x+y+z+3)^2\ge0.$

Vì $x,y,z>0$ nên $x+y+z+3>0.$

Do đó $x+y+z-6\ge0$

$\Leftrightarrow x+y+z\ge6.$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$ và $xyz=x+y+z+2$

$\Leftrightarrow x^3=3x+2$

$\Leftrightarrow (x-2)(x+1)^2=0$

$\Leftrightarrow x=2.$

Vậy $x=y=z=2$ và $\min(x+y+z)=6.$

bạn tham khảo ở đây: Câu hỏi của Nguyễn Phương Linh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(1=\left(x+y+z\right)^2\ge4x\left(y+z\right)\Rightarrow x\le\frac{1}{4\left(y+z\right)}\)

Do đó \(A\ge y+z-16yz.\frac{1}{4\left(y+z\right)}+2017\)

\(=y+z-\frac{4yz}{y+z}+2017\ge y+z-\frac{\left(y+z\right)^2}{y+z}+2017=2017\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)\)

Is that true?

Bí quá thì làm cách sau đây cũng được:v

Đặt A= f(x;y;z) và \(t=\frac{y+z}{2}>0\). Xét hiệu:

\(f\left(x;y;z\right)-f\left(x;t;t\right)=16x\left(t^2-yz\right)\ge0\)

Do đó \(f\left(x;y;z\right)\ge f\left(x;t;t\right)=f\left(1-2t;t;t\right)\) (do cách chọn t)

Ta sẽ tìm min của \(f\left(1-2t;t;t\right)=2t-16\left(1-2t\right)t^2+2017\)

\(=2t\left(4t-1\right)^2+2017\ge2017\)

Đẳng thức xảy ra khi \(y=z=t=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

\(x,y,z>0\)

Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:

\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)

\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)

\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)

Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:

\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)

\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)

\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(P_{min}=0\)