x=y=z=1

Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :

\(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{x+1}{8}+\frac{x+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}\)

=> \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{x+1}{4}\) (1)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1 

CM tương tự ra có " \(\frac{1}{\left(y+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{y+1}{4}\)(2) ; \(\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{z+1}{4}\) (3)

Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1 

Từ (1) (2) và (3) => \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{x+y+z+3}{4}\)\(\ge\frac{9}{4}-\frac{3\sqrt[3]{xyz}+3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=\frac{3}{4}\)

BĐT được chứng minh 

Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1

ta có \(\sum\) \(a+\frac{9}{16}a^2\ge\frac{3}{2}\sqrt{a^3}\)

\(\Rightarrow\)\(\sum\) \(a\ge\frac{3}{2}\sqrt{a^3}-\frac{9}{16}a^2\)\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{3}{2}(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3})-\frac{9}{16}(a^2+b^2+c^2)\ge\frac{9}{2}\sqrt{abc}-\frac{9}{16}.4\sqrt{abc}\)>\(2\sqrt{abc}\) theo bđt côsi 

ĐPCM 

có thể cảm ơn tôi tại đây https://diendantoanhoc.net/members/

ko lam thi thoi chui cl ay!!!

đù , chuyện giề đang xảy ra vậy man

\(\)Ta có: \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)

=>\(y + z = 4 - x - \sqrt{xyz}\)

Ta có: \((4-y)(4-z)=16-4(y+z)+yz\)

=>\((4-y)(4-z) = 16 - 4(4 - x - \sqrt{xyz}) + yz\)

\(= 16 - 16 + 4x + 4\sqrt{xyz} + yz\)

\(= 4x + 4\sqrt{xyz} + yz\)

=>\(x(4-y)(4-z) = x(4x + 4\sqrt{xyz} + yz)\)

\(=4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz=\left(2x+\sqrt{xyz}\right)^2\)

=>\(\sqrt{x(4-y)(4-z)} = \sqrt{(2x + \sqrt{xyz})^2} = 2x + \sqrt{xyz}\)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có:

\(\sqrt{y(4-z)(4-x)}=2y+\sqrt{xyz};\sqrt{z(4-x)(4-y)}=2z+\sqrt{xyz}\)

\(\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}\)

\(=(2x+\sqrt{xyz})+(2y+\sqrt{xyz})+(2z+\sqrt{xyz})-\sqrt{xyz}\)

\(=2x+2y+2z+2\sqrt{xyz}\)

\(=2(x+y+z+\sqrt{xyz})=2\cdot4=8\) (ĐPCM)

Ta có: \(4^x.4^y.4^z=4^{x+y+z}=4^0=1\)

Áp dụng BĐT cô - si cho 4 số dương:

\(3+4^x=1+1+1+4^x\ge4\sqrt[4]{4^x}\)\(\Rightarrow\sqrt{3+4^x}\ge2\sqrt{\sqrt[4]{4^x}}=2\sqrt[8]{4^x}\)

Tương tự ta có: \(\sqrt{3+4^y}\ge2\sqrt[8]{4^y}\);\(\sqrt{3+4^z}\ge2\sqrt[8]{4^z}\)

\(VT=\text{Σ}_{cyc}\sqrt{3+4^x}=2\left[\sqrt[8]{4^x}+\sqrt[8]{4^y}+\sqrt[8]{4^z}\right]\)

\(\ge2.3\sqrt[3]{\sqrt[8]{4^x.4^y.4^z}}=6\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=0\))

2k7 à ;giỏi wá