Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lấy điểm O trong ΔABC sao cho \(\hat{AOB}=\hat{BOC}=\hat{AOC}=120^0\)
Đặt OA=x; OB=y; OC=z
Xét ΔOAB có \(cosAOB=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}\)
=>\(x^2+y^2-AB^2=2\cdot x\cdot y\cdot\frac{-1}{2}=-xy\)
=>\(AB^2=x^2+y^2+xy=1\)
=>AB=1
Xét ΔOAC có \(cosAOC=\frac{OA^2+OC^2-AC^2}{2\cdot OA\cdot OC}\)
=>\(x^2+z^2-AC^2=2\cdot x\cdot z\cdot cos120=-xz\)
=>\(AC^2=x^2+z^2+xz=\frac34\)
=>\(AC=\frac{\sqrt3}{2}\)
Xét ΔOBC có \(cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}\)
=>\(\frac{y^2+z^2-BC^2}{2\cdot y\cdot z}=cos120=-\frac12\)
=>\(y^2+z^2-BC^2=-yz\)
=>\(BC^2=y^2+z^2+yz=\frac14\)
=> BC=1/2
Vì \(CA^2+CB^2=AB^2\)
nên ΔCAB vuông tại C
=>\(S_{CAB}=\frac12\cdot CA\cdot CB=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{8}\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2}xy\sin(120^\circ) + \frac{1}{2}yz\sin(120^\circ) + \frac{1}{2}xz\sin(120^\circ)\)
=>\(S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}(xy + yz + xz)\)
=>\(\frac{\sqrt{3}}{4}(xy+yz+xz)=\frac{\sqrt{3}}{8}\)
=>\(xy+yz+xz=\frac{1}{2}\)
\((x^2 + xy + y^2) + (y^2 + yz + z^2) + (x^2 + xz + z^2) = 1 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\)
=>\(2(x^2 + y^2 + z^2) + (xy + yz + xz) = 2\)
=>\(2(x^2+y^2+z^2)+\frac{1}{2}=2\)
=>\(x^2+y^2+z^2=\frac{3}{4}\)
\((x + y + z)^2 = (x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + xz)\)
\(=\frac34+2\cdot\frac12=\frac74\)
=>\(x+y+z=\frac{\sqrt7}{2}\)
=>\(B=\frac{\sqrt7}{2}\)
Các thánh giúp e nha Ace Legona Nguyễn Huy Tú Toshiro Kiyoshi Phương An Akai Haruma @Nguyễn Vũ Phượng Thảo
Ta có:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=-\dfrac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^3=\left(-\dfrac{1}{z}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3}+3\dfrac{1}{x^2}\dfrac{1}{y}+3\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{y^3}=-\dfrac{1}{z^3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}+3\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}+3\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{y}.\left(-\dfrac{1}{z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\)
\(\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)=\dfrac{3}{xyz}.xyz\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=3\)
Vậy...
Sửa lại đề: cho x, y, z dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}=1\)
Chứng minh \(A=\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{xz\left(1+y^2\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\le\dfrac{3}{2}\)
Giải:
Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}\Rightarrow ab+bc+ac=1\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\sqrt{\dfrac{1}{bc}\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)}}+\dfrac{\dfrac{1}{b}}{\sqrt{\dfrac{1}{ac}\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)}}+\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\sqrt{\dfrac{1}{ab}\left(1+\dfrac{1}{c^2}\right)}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+1}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+ab+bc+ac}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b^2+ab+bc+ac}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+ab+bc+ac}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a+c}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Đề bài này có rất nhiều vấn đề, đầu tiên không có điều kiện x, y, z gì cả? Dương? Â? Bằng 0? Khác 0?
Sau nữa là chiều của BĐT cũng có vấn đề nốt, mình thử với \(x=y=2;z=\dfrac{4}{3}\) thì vế trái ra \(\dfrac{2+\sqrt{30}}{5}\) mà theo casio cho biết thì số này nhỏ hơn \(\dfrac{3}{2}\) , vậy BĐT cũng sai luôn