Câu hỏi của Trương Tuấn Kiệt

Question

Cho các số thực tùy ý a,b,c > 1. Tìm GTNN của biểu thức

M=$\frac{a^2}{a-1}$+$\frac{2b^2}{b-1}$+\(\frac{201...

Đào Thu Hoà · Accepted Answer

Ta có $\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\Leftrightarrow x^2-4x+4\ge0\Leftrightarrow x^2\ge4\left(x-1\right).$

$\Rightarrow\frac{x^2}{x-1}\ge4$(với x>1) Dấu '=' xảy ra khi x-2=0 <=> x=2 (TMĐK)

Áp dụng bất đẳng thức trên cho a,b,c >1 ta được

$\frac{a^2}{a-1}\ge4$; $\frac{2b^2}{b-1}\ge2.4=8$; $\frac{2017c^2}{c-1}\ge2017.4=8068$

Suy ra $M=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{2017c^2}{c-1}\ge4+8+8068=8080$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M=8080 khi a=b=c=2

Câu trả lời:

Ta có $\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\Leftrightarrow x^2-4x+4\ge0\Leftrightarrow x^2\ge4\left(x-1\right).$

$\Rightarrow\frac{x^2}{x-1}\ge4$(với x>1) Dấu '=' xảy ra khi x-2=0 <=> x=2 (TMĐK)

Áp dụng bất đẳng thức trên cho a,b,c >1 ta được

$\frac{a^2}{a-1}\ge4$; $\frac{2b^2}{b-1}\ge2.4=8$; $\frac{2017c^2}{c-1}\ge2017.4=8068$

Suy ra $M=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{2017c^2}{c-1}\ge4+8+8068=8080$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M=8080 khi a=b=c=2