Đặt:

\(p = a + b + c , q = a b + b c + c a , r = a^{2} + b^{2} + c^{2} .\)

Khi đó, điều kiện bài toán trở thành:

\(3 r + q = 12.\)

Ta cần chứng minh:

\(22 \textrm{ }\textrm{ } \leq \textrm{ }\textrm{ } \frac{r}{p + q} \textrm{ }\textrm{ } \leq \textrm{ }\textrm{ } 32.\)

Bước 1. Biểu diễn lại mẫu số

Từ hằng đẳng thức:

\(p^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = r + 2 q .\)

Vậy:

\(p + q = \left(\right. p^{2} - r \left.\right) + \left(\right. p - r \left.\right) ? ?\)

👉 Ở đây có chút khó khăn: trực tiếp so sánh tỉ số \(\frac{r}{p + q}\) với số nguyên (22,32) là không khớp — vì bài toán gốc em chép có thể bị sai số trong đề.

⛔ Lý do: Với điều kiện \(3 r + q = 12\), thì \(r\) và \(q\) tối đa chỉ cỡ 12, nên tỉ số \(\frac{r}{p + q}\) chắc chắn nhỏ (≤ vài đơn vị). Không thể lớn đến 22 hay 32 được.

Nhận xét

Có thể trong đề gốc:

• Bất đẳng thức cần chứng minh là:

\(\frac{2}{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a + b + c + a b + b c + c a} \leq \frac{3}{2}\)

hoặc tương tự (số 22 và 32 có thể là \(\frac{2}{2}\) và \(\frac{3}{2}\), nhưng bị gõ nhầm khi soạn đề 🤔).

👉 Em kiểm tra lại đề gốc xem có phải dấu ngoặc hay dấu phân số bị lệch khi copy không. Vì theo điều kiện \(3 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) + a b + b c + c a = 12\), chắc chắn kết quả bất đẳng thức phải là những con số nhỏ (dạng \(\frac{2}{2} , \frac{3}{2} , 2 , 3\)), chứ không thể là 22 hoặc 32.

đề không sai nhé mọi người

Làm chữa lỗi phát:v Đến giờ mới nghĩ ra(thực ra là tình cờ xem lại ngày xưa:(

\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)2ab}}{a^2+b^2}\ge\Sigma\frac{2ab}{a^2+b^2}+3-3\)

\(=\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}-3\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3\)

\(=\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}-3\)

\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}-3=1\)(qed)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 0 và các hoán vị (xét sơ sơ thôi chớ xét chi tiết em không biết làm đâu:v)

P.s: Chả biết có đúng hay không nữa:(( Lần này mà không đúng thì khổ.

\(BĐT\Leftrightarrow\)∑\(\left(\frac{b^2}{c}+a+b\right)\)\(\le\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\le\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-c\right)^2}{c}+\frac{\left(b-a\right)^2}{a}+\frac{\left(c-b\right)^2}{b}\ge0\)

toán lớp  thì ko biết

a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ac≥4a29(b+c)2+4b29(a+c)2=49(a2(1−a)2+b2(1−b)2)(vì a+b+c=1)
a2(1−a)2−9a−24=(2−x)(3x−1)24(1−a)2≥0(vì )<a<1)
⇒a2(1−a)2≥9a−24
tương tự: b2(1−b)2≥9b−24

Với \(a^2+b^2+c^2=1\), ta có: \(\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2+ab-c^2}}\)

\(=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}}\)

\(\ge\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(ab+2c^2\right)+\left(a^2+b^2+ab\right)}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+2ab+2c^2}{2}}\)

\(\ge\text{​​}\Sigma\text{​​}\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+b^2\right)+2c^2}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}\)

\(=\Sigma\left(ab+2c^2\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\)

\(=2+ab+bc+ca\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

đặt \(\sqrt{\frac{ab}{c}}=x;\sqrt{\frac{bc}{a}}=y;\sqrt{\frac{ca}{b}}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(P=\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\)

\(=\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{ab}{c}+1}+\frac{\frac{bc}{a}}{\frac{bc}{a}+1}+\frac{\frac{ca}{b}}{\frac{ca}{b}+1}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)