Tham khảo:

Với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  \(Q=\s... - Hoc24

\(P^2=a+b+c+a^2+b^2+c^2+2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(b+c^2\right)}+2\sqrt{\left(b+c^2\right)\left(c+a^2\right)}+2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(c+a^2\right)}.\)

Theo bđt Bunhiacopski ta có

\(2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(b+c^2\right)}\ge2\sqrt{b^3}\)(vì \(a,c\ge0\))

Tương tự \(2\sqrt{\left(b+c^2\right)\left(c+a^2\right)}\ge2\sqrt{c^3}\)

                \(2\sqrt{\left(c+a^2\right)\left(a+b^2\right)}\ge2\sqrt{a^3}\)

\(\Rightarrow P^2\ge a+b+c+a^2+b^2+c^2+2\sqrt{a^3}+2\sqrt{b^3}+2\sqrt{c^3}\)

Theo gt : \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}\Rightarrow0\le a,b,c\le1}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\ge a^2,b\ge b^2,c\ge c^2\\a^3\ge a^4,b^3\ge b^4,c^3\ge c^4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c\ge a^2+b^2+c^2=1\\2\sqrt{a^3}+2\sqrt{b^3}+2\sqrt{c^3}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P^2\ge1+1+2=4\)\(\Rightarrow P\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=0,c=1 và các hoán vị của nó

Tìm Max

Theo bđt Bunhiacopski ta có

\(P^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)\)

    \(=3\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)\)\(\le3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+a^2+b^2+c^2\right)\)

      \(=3\left(1+\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{3\left(1+\sqrt{3}\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

???????????????loằng ngoằng quá. Tui không hỉu cái GTNN

GTNN là tắt của giá trị nhỏ nhất, 

Trong bài này bạn biến đổi sao cho biểu thức \(P\ge a\)   (số a là số biết trước) 

VD: Bạn đưa về dạng nào đó của biểu thức mà nó luôn lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\) Bạn có thể viết \(P\ge\dfrac{1}{3}\) thì GTNN của \(P=\dfrac{1}{3}\)  hay \(minP=\dfrac{1}{3}\)

Tìm được GTNN rồi thì bạn tìm ẩn để dấu "=" xảy ra, nghĩa là để BĐT xảy ra dấu =, lúc đó biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất,

 VD như: \(minP=\dfrac{1}{3}\) <=> Dấu = xảy ra

                                  <=> x = b (x là ẩn và b là biết trước)

Ở một số bài có thể cho điều kiện của ẩn.

Mình sẽ trình bày chi tiết lời giải như khi viết vào vở, rõ ràng từng bước nhé:

Bài toán: Cho \(a , b , c \geq 0 , \textrm{ }\textrm{ } a + b + c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

\(P = \frac{1}{a^{2} + \frac{\left(\right. b - c \left.\right)^{2}}{4}} + \frac{1}{b^{2} + \frac{\left(\right. c - a \left.\right)^{2}}{4}} + \frac{1}{c^{2} + \frac{\left(\right. a - b \left.\right)^{2}}{4}} .\)

Lời giải:

Xét hạng tử thứ nhất:

\(a^{2} + \frac{\left(\right. b - c \left.\right)^{2}}{4} = \frac{\left(\right. 2 a \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2}}{4} .\)

Nhận xét rằng:

\(\left(\right. 2 a \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2} \leq \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2} = 1^{2} = 1 ,\)

không đúng cho mọi \(a , b , c\). → Ta thử cách khác.

Cách 1: Thử giá trị đặc biệt

• Với \(a = b = c = \frac{1}{3}\):

\(P = \frac{1}{\left(\right. 1 / 3 \left.\right)^{2}} + \frac{1}{\left(\right. 1 / 3 \left.\right)^{2}} + \frac{1}{\left(\right. 1 / 3 \left.\right)^{2}} = 3 \cdot 9 = 27.\)

• Với \(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 , 0 \left.\right)\):

\(P = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{0^{2} + \left(\right. 0 - 1 \left.\right)^{2} / 4} + \frac{1}{0^{2} + \left(\right. 1 - 0 \left.\right)^{2} / 4} = 1 + 4 + 4 = 9.\)

Tương tự với \(\left(\right. 0 , 1 , 0 \left.\right)\) hoặc \(\left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)\), đều có \(P = 9\).

Cách 2: Biện luận

Do \(a + b + c = 1\), giả sử \(a = 1 , b = c = 0\) thì \(P = 9\).
Nếu ba số dương và bằng nhau, \(P = 27 > 9\).
Dễ thấy khi các số phân bố đều, mẫu số nhỏ → giá trị lớn; còn khi dồn hết vào một biến, mẫu số lớn → giá trị nhỏ.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(P\) đạt tại biên, khi một biến bằng 1, hai biến còn lại bằng 0.

Kết luận:

Pmin​=9​

dấu bằng xảy ra khi \(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 , 0 \left.\right)\) hoặc hoán vị.
xin cái tickkkk=)

Áp dụng BĐT Mincopxki:

\(P\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Lại có do \(a;b;c\ge0\) nên:

\(a^2+2b^2\le a^2+2\sqrt{2}ab+2b^2=\left(a+\sqrt{2}b\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2b^2}\le a+\sqrt{2}b\)

Tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow P\le\left(\sqrt{2}+1\right)\left(a+b+c\right)=\sqrt{2}+1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị

thầy chỉ cho em hiểu rõ hơn dòng 4 với ạ 

\(K\le\Sigma\sqrt{12a+\left(b+c\right)^2}=\Sigma\sqrt{12a+\left(3-a\right)^2}=\Sigma\sqrt{\left(a+3\right)^2}=12\)

dấu "=" xảy ra khi \(a=b=0;c=3\) và các hoán vị

đề sai

sai là sai thế nào

Lời giải:

Đặt $\sqrt{4-a^2}=x; \sqrt{4-b^2}=y; \sqrt{4-c^2}=z$ thì bài toán trở thành:

Cho $x,y,z\in [0;2]$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=6$. Tìm min: $P=x+y+z$

-------------------

Ta có: $P^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=6+2(xy+yz+xz)$

Vì $x,y,z\in [0;2]$ nên:

$(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\geq xyz+4(x+y+z)-8\geq 4(x+y+z)-8=4P-8$

Vậy $P^2=6+2(xy+yz+xz)\geq 6+4P-8$

$\Leftrightarrow P^2-4P+2\geq 0$

$\Leftrightarrow (P-2)^2\geq 2\Rightarrow P\geq 2+\sqrt{2}$.

Vậy $P_{\min}=2+\sqrt{2}$.

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(0,2,\sqrt{2})$ và hoán vị