Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2};\frac{c^3}{a^2+b^2}\ge c-\frac{a}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(P\ge\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Khi \(a=b=c=1\)

 ta biến đổi a^2/(a+b^2)=a^3/a(a+b^2) áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số a^3/a(a+b^2) ,a/2,a+b^2 
ta đc a^3/a(a+b^2)+a/2+(a+b^2)/a>= 3a/2 tương tự b^3/b(b+c^2)+b/2+(b+c^2)/4>=3b/2 
c^3/c(c+a^2)+c/2+(c+a^2)/4>=3c/2 
đặt biểu thức đầu là P Ta có P +(a+b+c)/2+(a+b+c+a^2+b^2+c^2)/4>=3/2(a+... 
mặt khác (a+b+c)^2=<3(a^2+b^2+c^2) => a^2+b^2+c^2>=3 
thay vào =>P>=3/2 DẤU "=" XẢY RA <=> A=B=C=1 
CHÚC BẠN THÀNH CÔNG

\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\Rightarrow-3\le a+b+c\le3\)

\(S=a+b+c+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+a+b+c-\dfrac{3}{2}\)

Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow-3\le x\le3\)

\(S=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)^2-2\ge-2\)

\(S_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=-1\\a^2+b^2+c^2=3\end{matrix}\right.\) (có vô số bộ a;b;c thỏa mãn)

\(S=\dfrac{1}{2}\left(x^2+2x-15\right)+6=\dfrac{1}{2}\left(x-3\right)\left(x+5\right)+6\le6\)

\(S_{max}=6\) khi \(x=3\) hay \(a=b=c=1\)

cho xin dấu = để làm cái :D lười tìm dấu = quá

Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo.