Câu hỏi của Lê Đình Quân

Question

Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn a > 1, b > 1, c > 1, d > 1. Chứng minh

$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{d-1}+\frac{d^2}{a-1}\ge16$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$VT\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+c+d-4}$

Đặt $a+b+c+d-4=x>0\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+4\right)^2}{x}=\frac{x^2+8x+16}{x}$

$VT\ge x+\frac{16}{x}+8\ge2\sqrt{\frac{16x}{x}}+8=16$

Dấu "=" xảy ra khi $x=4$ hay $a=b=c=d=2$

Câu trả lời:

$VT\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+c+d-4}$

Đặt $a+b+c+d-4=x>0\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+4\right)^2}{x}=\frac{x^2+8x+16}{x}$

$VT\ge x+\frac{16}{x}+8\ge2\sqrt{\frac{16x}{x}}+8=16$

Dấu "=" xảy ra khi $x=4$ hay $a=b=c=d=2$