Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}=a\\\dfrac{1}{y^2}=b\\\dfrac{1}{z^2}=c\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\sqrt{abc}=abc=1\)
Ta có: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{ca}+1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\sqrt{ca}+1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{ba}+1+\sqrt{a}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{a}}=1\)
Quay lại bài toán, sau khi đặt bài toán trở thành:
\(P=\dfrac{1}{2b+a+3}+\dfrac{1}{2c+b+3}+\dfrac{1}{2a+c+3}\)
\(=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(b+c\right)+\left(c+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(c+a\right)+\left(a+1\right)+2}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{ca}+1}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Cái đó t cố tình bỏ đấy. B phải tự làm chứ chẳng lẽ t làm hết??
\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy+3zx}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz+3xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2zx+3yz}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+5xy+5yz+5zx}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) \(\geq \) \(\dfrac{4}{x+y}\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\) \(\geq\) \(\dfrac{1}{x+y}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{2x+y+z}\)=\(\dfrac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\)\(\leq\)\(\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\)\(\leq\)\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+z}\right)\right)\)=\(\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)(1)
Chứng minh tương tự,ta có:
\(\dfrac{1}{x+2y+z}\) \(\leq\) \(\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)(2)
\(\dfrac{1}{x+y+2z}\) \(\leq\) \(\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)\)(3)
Đặt: \(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\) là VT
Cộng các BĐT(1),(2),(3) lại với nhau ta được:
VT \(\leq\)\(\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow\) VT \(\leq\) \(\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)\)=\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)=\(\dfrac{1}{4}.4=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\) \(\leq\) 1
Dấu = xảy ra khi x=y=z=\(\dfrac{3}{4}\)
Thay $x=\sqrt{\frac{1}{2,5}}; y=z=\sqrt{\frac{1}{0,25}}$ ta thấy đề sai bạn nhé!
Lời giải:Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$
$\frac{1}{x+2y+z}\leq \frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$
$\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)$
Cộng theo vế và rút gọn thì:
$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$
Ta có: \(\dfrac{16}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(2\right)\\\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{4}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{4.4}{16}=1\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
Haha không giỡn nữa :v
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(L.H.S=Σ\dfrac{1}{2x+y+z}=7Σ\dfrac{1}{2\left(x+3y\right)+\left(y+3z\right)+4\left(z+3x\right)}\)
\(=\dfrac{1}{7}Σ\dfrac{\left(2+1+4\right)^2}{2\left(x+3y\right)+\left(y+3z\right)+4\left(z+3x\right)}\)
\(\le\dfrac{1}{7}Σ\left(\dfrac{2^2}{2\left(x+3y\right)}+\dfrac{1^2}{y+3z}+\dfrac{4^2}{4\left(z+3x\right)}\right)\)
\(=\dfrac{1}{7}Σ\left(\dfrac{2}{x+3y}+\dfrac{1}{y+3z}+\dfrac{4}{z+3x}\right)\)
\(=\dfrac{1}{7}Σ\dfrac{7}{x+3y}=Σ\dfrac{1}{x+3y}=R.H.S\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le\dfrac{4}{x+y}\) \(\forall x,y>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+3y}+\dfrac{1}{y+2z+x}\le\dfrac{4}{2x+4y+2z}=\dfrac{2}{x+2y+z}\\\dfrac{1}{y+3z}+\dfrac{1}{z+2x+y}\le\dfrac{4}{2x+2y+4z}=\dfrac{2}{x+y+2z}\\\dfrac{1}{z+3x}+\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{4}{4x+2y+2z}=\dfrac{2}{2x+y+z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+3y}+\dfrac{1}{y+3z}+\dfrac{1}{z+3x}+\dfrac{1}{y+2z+x}+\dfrac{1}{z+2x+y}+\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{2}{x+2y+z}+\dfrac{2}{x+y+2z}+\dfrac{2}{2x+y+z}\)
\(\Rightarrow VT\le\left(\dfrac{2}{x+2y+z}-\dfrac{1}{x+2y+z}\right)+\left(\dfrac{2}{x+y+2z}-\dfrac{1}{y+x+2z}\right)+\left(\dfrac{2}{2x+y+z}-\dfrac{1}{z+2x+y}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}+\dfrac{1}{2x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+3y}+\dfrac{1}{y+3z}+\dfrac{1}{z+3x}\le\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}+\dfrac{1}{2x+y+z}\) ( đpcm )
cau nay cau de y mot y la ra
chi lam the nay thoi cac cai sau cau dua vao ma lam tuong tu\(\dfrac{1}{x+3y}+\dfrac{1}{x+y+2z}\ge\dfrac{4}{2x+4y+2z}=\dfrac{2}{x+2y+z}\)
ban ay moi hoc lop 8
có cách nhưng mà xài Tích Phân, ko bt you học chưa :)
bỏ tích phân đi, chắc chưa học r`
\(BDT\LeftrightarrowΣ\left(3x^2+16x^4y+x^4z+20x^3y^2+2x^3z^2-8x^3yz-34x^2y^2z\right)\ge0\)
Đúng theo BĐT Muirhead, AM-GM và Rearrangement
chúc mừng ngược dấu ngay từ bước đầu
@Nhật Minh xin lỗi bạn nha , sửa dấu " \(\le\) " thành dấu " \(\ge\) " nha
@Ace Legona cảm ơn anh đã nhắc nhở em ^-^ ( nói nhẹ nhàng hơn chút đc ko anh ;-; )
phynit ra tay có khác rất "chuẩn"
Cc, bđt gì mà toàn tiếng anh ._.
Đọc cách này có hơi khó hiểu , L ? H ? S ? R?
Hoang Thiên Di:LHS=left hand side= vế trái
rhs tương tự
Bạn Ace Legona cứ tích phân đi bạn Nhật Minh sử dụng hàm rất giỏi do vậy không sợ đâu
Đặt \(a;b;c\) là các số dương. Theo AM-GM có:
\(\sum_{cyc}ab^3=\frac{1}{7}\sum_{cyc}(4ca^3+bc^3+2ab^3)\geq\frac{1}{7}\sum_{cyc}7\sqrt[7]{a^{14}b^7c^7}=\sum_{cyc}a^2bc.\)
Đặt \(a=t^x;b=t^y;c=t^z\left(t>0\right)\)
Do đó \(\sum_{cyc}\left(t^{x+3y}-t^{2x+y+z}\right)\geq0\)
\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(t^{x+3y-1}-t^{2x+y+z-1}\right)\geq0\)
Vì vậy \(\int\limits_{0}^1\sum_{cyc}\left(t^{x+3y-1}-t^{2x+y+z-1}\right)dt\geq0\)
Hay \(\sum_{cyc}\left(\frac{1}{x+3y}-\frac{1}{2x+y+z}\right)\geq0\)
Vui tí, ko bt bn hiểu ko :))
Cái này là tích phân .....
? chưa học ....
Cường Vũ Mạnh bạn không hiểu nhưng chủ top nick hiểu
NL dùng hàm cực siêu luôn => không ngán Tích Phân đâu
su dung hang dang thuc 1/a+1/b<=4/a+b
vd 1/(3x+y )+1/(x+y++2z)<=4/(4x+2y+2z)=2/(2x+y+z)
tuong tu =>
L.H.S với R.H.S chỉ nhằm mục đích make color thôi :))) , chứ thực ra là VT,VP
>= chu ban
cảm ơn bạn nhiều
thank you
HS lớp 8 mà đi dùng tích phân? ( giải thíc hộ cái Sao = 7 ? tui ko biets tính cái dó)
hjhjhjhj. trời ạ. hiểu chết liền .
Bạn cần giải dầy đủ GV mới chọn đúng dc
ok