Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(=\left(a^2\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)+\left(b^2\sqrt{b}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)+\left(c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)
\(\ge2a+2b+2c\ge6\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=6\)
ta có \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(1-a\right)}}\)
áp dụng cô si
\(\sqrt{a\left(1-a\right)}< =\frac{a+1-a}{2}=\frac{1}{2}\)
do do\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}>=2a\)\(\sqrt{\frac{b}{1-b}}>=2b,\sqrt{\frac{c}{1-c}}>=2c\)
cmtt\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>=2\left(a+b+c\right)=2\left(doa+b+c=1\right)\)
dau = xay ra <=>\(\hept{\begin{cases}a=1-a\\b=1-b\\c=1-c\end{cases}=>a+b+c=3-\left(a+b+c\right)}\)
<=>2(a+b+c)=3
<=>a+b+c=3/2
vay dau = khong xay ra ta co dpcm
\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)(BĐT Cosi)
Tương tự \(\sqrt{\frac{b}{1-b}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\) và \(\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b+c;b=a+c;c=a+b\Rightarrow a+b+c=0\) (KTM)
Vậy \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
\(a-1=-b-c< 0\)trái ĐKXĐ, đề sai , phải đổi 1-a, 1-b, 1-c
à đổi lại
Câu hỏi của Nguyễn Thiều Công Thành - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath chuẩn hóa nếu chuẩn hóa a+b+c=1 thì thành đề này
Thôi làm luôn lấy điểm
Ta có BĐT phụ \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}\ge\frac{9\sqrt{2}}{8}a+\frac{\sqrt{2}}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{\left(3a-1\right)^2\left(9a-1\right)}{32\left(1-a\right)}}{\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\frac{9\sqrt{2}}{8}a+\frac{\sqrt{2}}{8}}\ge0\forall0< a\le\frac{1}{3}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\sqrt{\frac{b}{1-b}}\ge\frac{9\sqrt{2}}{8}b+\frac{\sqrt{2}}{8};\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge\frac{9\sqrt{2}}{8}c+\frac{\sqrt{2}}{8}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\frac{9\sqrt{2}}{8}\left(a+b+c\right)+\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot3=\frac{3\sqrt{2}}{2}>2\)